Te traemos la contestación a esta cuestión, al menos eso creemos. Si tienes preguntas deja tu comentario, que sin dudar
Solución:
Primero, tenga en cuenta que $Q(R)$ es noetheriano y reducido desde $R$ es, y segundo, cada elemento de $Q(R)$ es una unidad o un divisor de cero. Una vez que esto se establece, podemos olvidarnos efectivamente de $R$. Con eso en mente, todos los ideales presentados son ideales de $Q(R)$.
Dejar $mathfrakp_1,ldots,mathfrakp_k$ ser los ideales primos mínimos de $Q(R)$ (hay una cantidad finita desde $Q(R)$ es noetheriano). Recuérdese que el nilradical (el conjunto de elementos nilpotentes, o equivalentemente, el radical del cero ideal) de $Q(R)$ es igual a la intersección de todos los primos ideales de $Q(R)$. Ya que $Q(R)$ se reduce, esto significa que la intersección de los ideales primos es el ideal cero. Además, debido a que todo ideal primo contiene un ideal primo mínimo, la intersección de todos los ideales primos es igual a $cap_i=1^kmathfrakp_i$ y por lo tanto $cap_i=1^kmathfrakp_i=(0)$.
Ahora mostramos que $mathfrakp_1,ldots,mathfrakp_k$ son todos ideales máximos. Dejar $j_1in1,ldots,k$ y deja $yo$ ser un ideal tal que $mathfrakp_j_1subseteq Isubsetneq Q(R)$. Dejar $xen I$. Después $x$ no es una unidad ya que $Ineq Q(R)$ lo que implica $x$ es un divisor de cero. Entonces, existe distinto de cero $yen Q(R)$ tal que $xy=0$. Desde el $y$ es distinto de cero y $cap_i=1^kmathfrakp_i=(0)$vemos $ynotincap_i=1^kmathfrakp_i$ y por lo tanto existe $j_2in1,ldots,k$ tal que $ynotin mathfrakp_j_2$. Sin embargo, $xy=0inmathfrakp_j_2$asi que $xinmathfrakp_j_2subseteqcup_i=1^kmathfrakp_i$. Así, concluimos $Isubconjuntocup_i=1^kmathfrakp_i$.
A continuación, por evitación prima, deducimos que $Isubconjuntomathfrakp_j_3$ para algunos $j_3in1,ldots,k$ y por lo tanto $mathfrakp_j_1subseteqmathfrakp_j_3$. Porque $mathfrakp_j_3$ es un ideal primo mínimo, esto implica $mathfrakp_j_1=mathfrakp_j_3$ y por lo tanto $I=mathfrakp_j_1$. Así, concluimos $mathfrakp_1,ldots,mathfrakp_k$ son ideales máximos. Finalmente, si $mathfrakp$ es cualquier ideal primo, entonces contiene un primo mínimo $mathfrakp_j$ para algunos $jin1,ldots,k$ y por lo tanto $mathfrakp=mathfrakp_j$ por maximalidad de $mathfrakp_j$por lo que todo ideal primo es maximal.
He editado mi respuesta para completar muchos más detalles, pero avíseme si necesita más aclaraciones sobre algún punto.
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