Este dilema se puede resolver de diferentes maneras, por lo tanto te enseñamos la resolución más completa para nosotros.
Solución:
creo que ésto es false. Dejar $A = beginpmatrix 1 & -3 \ 0 & 1 endpmatrix$ Sea una matriz de 2×2, en la base canónica de $matemáticas R^2$. Entonces A tiene un valor propio doble b=1. Si $v=beginpmatrix1\1endpmatrix$después $langle v, Av rangle < 0$.
El punto es que la matriz puede tener todos sus valores propios estrictamente positivos, pero no se sigue que sea definida positiva.
Esta pregunta hace un gran trabajo al ilustrar el problema de pensar en estas cosas en términos de coordenadas. Lo que es definido positivo no es una matriz $M$ sino el forma cuadrática $x mapsto x^TM x$, que es una bestia muy diferente a la transformación lineal $x mapsto M x$. Por un lado, la forma cuadrática no depende de la parte antisimétrica de $M$, por lo que usar una matriz asimétrica para definir una forma cuadrática es redundante. Y ahí está Sin razón que una matriz asimétrica y su simetrización necesitan estar relacionadas; en particular, no necesitan tener los mismos valores propios.
Tal como se planteó, la respuesta a la pregunta es no, si $mathbf A$ no es simétrico. Contraejemplo:
$$mathbf A = beginpmatrix 7 & 1 \ -20 & -2endpmatrix$$
con valores propios positivos $3$ y $2$. $mathbf A$ no es definida positiva, es decir, $mathbf x^top mathbf A mathbf x$ no es una forma cuadrática positiva.
Por supuesto, como muchos han señalado, si además requerimos que $mathbf A$ sea simétrico, entonces todos sus valores propios son reales y, además, $mathbf A$ es definido positivo si, y solo si, todos sus valores propios son positivos.
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