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Solución:
En primer lugar, debe comprender que no existe una moneda perfectamente justa, porque no hay nada en el mundo real que se ajuste perfectamente a algún modelo teórico. Por tanto, una definición útil de “moneda justa” es aquella que, a efectos prácticos, se comporta como justa. En otras palabras, ningún humano que lo voltee ni siquiera durante mucho tiempo podría notar la diferencia. Eso significa, se puede suponer, que la probabilidad de que salga cara o cruz en esa moneda es de $ 1/2 $.
Si su moneda en particular es justa (según la definición anterior) o no, no se le puede asignar una “probabilidad”. En su lugar, se deben utilizar métodos estadísticos.
Aquí, haces un llamado “null-hipótesis “:” la moneda es justa “. Luego procedes a calcular la probabilidad del evento que observaste (para ser precisos: el evento, o algo al menos como” extraño “), asumiendo el null-la hipótesis fueron true. En su caso, la probabilidad de su evento, 1000 caras, o algo al menos tan extraño, es $ 2 times1 / 2 ^ 1000 $ (esto se debe a que también cuenta 1000 cruces).
Ahora, con las estadísticas, nunca se puede decir nada con certeza. Necesitas definir cuál consideras tu “nivel de confianza”. Es como decir en la corte “más allá de toda duda razonable”. Digamos que está dispuesto a asumir un nivel de confianza de 0,999. Eso significa que, si algo que supuestamente tenía menos de 0,001 posibilidades de suceder, realmente sucedió, entonces dirás: “Estoy lo suficientemente seguro de que mis suposiciones deben ser incorrectas”.
En su caso, si asume el nivel de confianza de 0.999, y tiene 1000 caras en 1000 lanzamientos, entonces puede decir, “la suposición de la null la hipótesis debe ser incorrecta y la moneda debe ser injusta “. Lo mismo ocurre con 50 caras en 50 lanzamientos, o 20 caras en 20 lanzamientos. Pero no con 7, no en este nivel de confianza. Con 7 caras (o cruz), la probabilidad es $ 2 times 1/2 ^ 7 $, que es más de 0,001.
Pero si asume un nivel de confianza del 95% (lo que comúnmente se hace en disciplinas científicas menos estrictas), entonces incluso 7 cabezas significan “injusto”.
Tenga en cuenta que nunca puede “probar” realmente la null hipótesis. Solo puede rechazarlo, en función de lo que observe que está sucediendo y su “nivel de confianza”. De hecho, esto es lo que hacen la mayoría de los científicos: rechazan las hipótesis basadas en la evidencia y los estándares de confianza aceptados.
Si sus eventos no refutan su hipótesis, eso no significa necesariamente que debe ser true! Solo significa que resistió el escrutinio hasta ahora. También puede decir “los resultados son consistentes con la hipótesis que true”(los científicos utilizan con frecuencia esta frase). Si una hipótesis se mantiene durante mucho tiempo sin que nadie pueda producir resultados que la refuten, se vuelve generalmente aceptada. Sin embargo, a veces, incluso después de cientos de años, pueden surgir algunos resultados nuevos que Tal fue el caso de la Relatividad General que “refuta” la teoría clásica de Newton.
Si toma una moneda que ha modificado para que siempre caiga en cara y obtenga $ 1000 $ cara, entonces la probabilidad de que sea injusta es de $ 100 % $.
Si toma una moneda que ha creado usted mismo y se asegura cuidadosamente de que sea una moneda justa y luego obtiene $ 1000 $ caras, entonces la probabilidad de que sea injusta es de $ 0 % $.
A continuación, llena una caja con monedas de ambos tipos y luego toma una moneda al azar.
- $ NF $: monedas justas en la caja.
- $ NU $: monedas injustas en la caja
-
$ P (U) $: probabilidad de haber tomado una moneda injusta $$ P (U) = frac NU NF + NU $$
-
$ P (F) $: probabilidad de haber tomado una moneda justa $$ P (F) = frac NF NF + NU = 1 – P (U) $$
- $ P (H mid U) $: Probabilidad de tener 1000 caras condicionadas a recibir una moneda injusta $$ P (H mid U) = 1 $$
- $ P (H mid F) $: Probabilidad de tener 1000 caras condicionadas a haber tomado una moneda justa $$ P (H mid F) = left ( tfrac 1 2 right) ^ 1000 $$
- $ P (H) $: Probabilidad de tener 1000 caras
begin align P (H) & = P (U cap H) + P (F cap H) \ & = P (H mid U) P (U) + P (H mid F) P (F) \ & = P (U) + P (H mid F) P (F) end align
Aplicando el teorema de Bayes:
$ P (U mid H) $: probabilidad de que la moneda sea injusta condicionada a obtener 1000 caras $$ P (U mid H) = frac P (H mid U) P (U ) P (H) = frac P (U) P (U) + P (H mid F) P (F) $$
Y esa es tu respuesta.
Por ejemplo
Si $ P (U) = 1 / (6 cdot 10 ^ 27) $ ($ 1 $ de cada $ 6 cdot 10 ^ 27 $ monedas son injustas) y obtienes 1000 caras, entonces la probabilidad de la moneda siendo injusto begin align mathbf 99. y 999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999 \ y \ 999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999 y 999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999 \ y 999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999944 % end align
Las monedas muy pequeñas como el centavo estadounidense tienen un peso de $ 2.5g $. Podemos suponer con seguridad que no hay monedas con un peso inferior a 1 gramo.
La Tierra tiene un peso de menos de $ 6 cdot 10 ^ 27 $ gramos. Por lo tanto, sabemos que hay menos de $ 6 cdot 10 ^ 27 $ monedas. Sabemos que hay al menos una moneda injusta (he visto monedas con dos caras y cero cruces), por lo que sabemos que $ P (U) ge 1 / (6 cdot 10 ^ 27) $.
Y por lo tanto podemos concluir que si se obtiene 1000 cabezas entonces la probabilidad de que la moneda es injusta es al menos begin align mathbf 99. Y 999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999 \ y 999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999 \ y 999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999 \ y 999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999944 % end align
Este análisis solo es válido si toma una moneda al azar y solo si las monedas son $ 100 % $ justas o $ 100 % $ injustas. Sigue siendo una buena indicación de que sí, con cara de $ 1000 $ puede estar seguro más allá de cualquier duda razonable de que la moneda es injusta.
Para asignar una probabilidad a este evento, debe comenzar con una probabilidad previa que luego se puede actualizar en función de los datos. Las probabilidades no se pueden derivar realmente de la experiencia únicamente, es necesario comenzar con algún tipo de “sesgo inductivo” para sacar conclusiones de la evidencia.
El enfoque heurístico de la prueba de hipótesis proporciona un marco para tomar decisiones en estas situaciones, pero no pretende asignar probabilidades a esas hipótesis.