este problema se puede resolver de variadas maneras, por lo tanto te dejamos la que para nosotros es la resolución más completa.
Solución:
Como $lambda$ es un valor propio de $A^2$, sabemos que $$det (A^2 – lambda I) = 0$$ De aquí concluimos que $$det (A^2 – lambda I) = det((A – sqrtlambdaI)(A + sqrtlambdaI)) = det(A – sqrtlambdaI) timesdet ( A + sqrtlambdaI)= 0$$ Por lo tanto, $sqrtlambda$ o $-sqrtlambda$ es un valor propio de $A$.
Primero observe que: $$A^2 – lambda I = (A-sqrtlambda I)(A+sqrtlambda I)$$ Sea $v$ un vector propio de $A^2$ con valor propio $ lambda$. Podemos usar $v$ para encontrar un vector propio explícito de $A$ con un valor propio que sea $sqrtlambda$ o $-sqrtlambda$.
Dado que $(A^2-lambda I)v = 0$, debemos tener $(A+sqrtlambda I)v = 0$, en cuyo caso $v$ también es un vector propio de $A$ con valor propio $-sqrtlambda$, o $(A+sqrtlambda I)v neq 0$, en cuyo caso establecemos $ u:=(A+sqrtlambda I)v$, y tenga en cuenta que $u$ es un vector propio de $A$ con valor propio $sqrtlambda$, ya que $(A-sqrtlambda I)u=0$.
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