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Solución:
Supongamos que $H = langle h rangle$ es normal en $G$ y que $K$ es un subgrupo de $H$. Cualquier subgrupo de un grupo cíclico es cíclico, entonces $K = langle h^d rangle$ para algún entero $d$.
Sea $g in G$. Como $H$ es normal, $g^-1hg = h^i$ para algún entero $i$. Entonces, para cualquier entero $k$ obtienes $g^-1(h^d)^kg = (g^-1hg)^dk = (h^i)^dk = (h ^d)^ik$. Esto muestra que para cualquier $k in K$, el elemento $g^-1kg$ está en $K$. Por lo tanto $K$ es normal.
Aquí hay un hecho algo más general que parece lo suficientemente útil como para tenerlo en cuenta:
Si $G$ es un grupo, $H$ es un subgrupo normal de $G$ y $K$ es un subgrupo característico de $H$, entonces $K$ es un subgrupo normal de $G$.
La demostración es casi inmediata si conoces las definiciones: para cualquier $x in G$, dado que $H$ es normal en $G$, la conjugación por $H$ induce un automorfismo $varphi_x$ de $H$, pero no necesariamente un automorfismo “interno”: es decir, si $x notin H$, $varphi_x$ no necesita ser conjugación por cualquier elemento de $H$. Por lo tanto, hemos asumido que $K$ simplemente no es normal pero característica como un subgrupo de $H$, es decir, estable bajo todos los automorfismos de $H$. Hecho.
Para obtener más detalles, consulte, por ejemplo, aquí.
Como han señalado otros, también necesitamos ver que cualquier subgrupo de un grupo cíclico $H$ es característico. Bueno, cualquier subgrupo que sea el único subgrupo de su orden es característico; esto se encarga del caso en el que $H$ es finito. Y cualquier subgrupo que sea el único subgrupo de su índice es característico, esto se encarga del caso en el que $H$ es infinito. (Alternativamente, si $H cong (mathbbZ,+)$, el único automorfismo no trivial es la multiplicación por $-1$, que evidentemente estabiliza todos los subgrupos $n mathbbZ$.)
ya que $H$ es normal en $G$ usted obtiene $a^-1Ka subconjunto H$para todos $aen G$. Ahora usa el hecho de que $H$ es cíclico (sólo hay un subgrupo de $H$ tal que $puntos$)
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