Nuestros programadores estrellas agotaron sus reservas de café, por su búsqueda a tiempo completo por la resolución, hasta que Gloria encontró la respuesta en Gogs y ahora la compartimos con nosotros.
Solución:
Como han señalado otras respuestas, el grupo cociente es un grupo. Porque $G$ es cíclico, cada elemento de $G$ se puede escribir en la forma $g^n$ para algunos $n en mathbbN$. Así, todas las clases laterales derechas serán de la forma $Hg^n$ para algunos $n en mathbbN$, y puedes llegar a $Hg^n$ por “multiplicar” (como se ha definido) $Hg$ por sí mismo $n$ veces. También si $G/H$ es más pequeña que $G$—lo que sucede cada vez que $H$ es un no trivial subgrupo normal, entonces de hecho habrá algunos $n$ desaparecido, en cierto sentido$^daga$: tendremos $Hg^n = Hg^m$ para algunos $n neq m$. Pero esto no tendrá ninguna consecuencia para la prueba anterior.
Aquí hay una forma diferente de abordar este problema, sans cosets$^ddaga$:
Si $H$ es un subgrupo de un grupo cíclico $G$, entonces $H$ es necesariamente normal ya que todo subgrupo de un grupo abeliano es normal (cíclico implica abeliano). Como tal*, existe un grupo $G_1$ y un homomorfismo de grupo sobreyectivo $fi:G rightarrow G_1$ tal que $ker(phi) = H$. Del teorema del isomorfismo se obtiene $G_1 cong G/H$.
Entonces el problema es equivalente a determinar si la imagen homomórfica de un grupo cíclico es cíclica. Esto es bastante inmediato: asumiendo $g$ genera $G$, considere cualquier $a en G_1$. Tenemos $a = phi(g^n)$ para algunos $n$, y además $fi(g^n) = phi(g)^n$. Entonces vemos que $fi(g)$ genera $G_1$.
$$subrayadotextbfNotas al pie \[0.5em]$$
$^daga$Es decir: cuando pasamos al cociente, algunos elementos ahora se consideran como “el mismo” módulo $H$. Para más información sobre esto, vea mi publicación aquí para una discusión análoga relativa a los anillos y sus cocientes; para grupos por supuesto, solo hay $1$ mesa de operación / operación.
$^ddaga$Para ser perfectamente exactos, no es que no estemos usando clases laterales; más bien, los estamos barriendo debajo de la alfombra del teorema del isomorfismo.
* De hecho, en general, $G/H$ es un grupo $si H$ es normal. Hay muchas nociones equivalentes para la normalidad. Haga clic aquí para más discusión.
Se pueden presentar varios argumentos en el sentido de que $(Hg)^n$ siempre es un elemento de $G/H$. La más simple sería apelar al hecho de que el grupo de cocientes es, de hecho, un grupo, en particular, lo que significa que está cerrado por productos. Si $(Hg)^2$ no estuviera en el cociente, pero sí $Hg$, ¿cuál sería $Hgcdot Hg$?
Sin embargo, de manera más elemental, el grupo de cocientes $G/H$ se define observando las clases laterales de $H$. Entonces $Hx$ está en el grupo de cocientes para cualquier $x$ en $G$ – entonces, dado que $g^n$ está en $G$, se deduce que $Hg^n=(Hg)^n$ está en $ H$.
$G$ cíclico
$H trianglelefteq G$
$G/H = aH: a in G$
$langle x rangle = G$ donde $x not = e$
$a = x^k Rightarrow aH = x^kH = (xH)^k$
Esto fue por elemento arbitrario así hecho.