Este dilema se puede resolver de diversas maneras, por lo tanto te dejamos la que para nosotros es la solución más completa.
Solución:
Es true que los conjuntos no están ordenados. En cuanto a si puede ‘cambiar’ el orden, no puede cambiar algo que no está allí.
Sin embargo, puede definir cualquier orden en ellos que desee. Por ejemplo, podemos ordenar los naturales de la manera habitual $$0,1,2,3,ldots$$ o podemos definir un ordenamiento donde todos los números pares van primero en su orden habitual, luego los números impares $$ 0, 2,4,6,ldots, 1,3,5,7,ldots.$$ Hay muchas, muchas posibilidades.
Además, el orden debe definirse sin ambigüedades para que sepamos exactamente la relación de orden entre dos elementos. Por ejemplo, no sé a qué te refieres cuando escribes $$ 3,5,…,78,1,9.$$ Está claro que quieres decir que $9$ viene al final (no es un problema para que un orden tenga un elemento mayor, aunque en los dos ordenes que mencioné anteriormente no había ningún elemento mayor), pero no tengo idea de dónde van $2$ en este orden. Si simplemente escribieras esto de la nada, ni siquiera podría decir que fue un ordenamiento de todo el conjunto de números naturales y no solo un subconjunto.
Editar
Henning menciona un ejemplo en los comentarios que creo que merece mencionarse en la respuesta, para reforzar el hecho de que hay muchas posibilidades. Cualquier enumeración de un conjunto ordenado contablemente infinito induce un orden en los números naturales. Así, a partir del orden habitual de los racionales y una enumeración de los racionales, obtenemos un ordenamiento de los números naturales que es denso, es decir, entre dos números cualesquiera se encuentran otros infinitos. Ni siquiera podemos intentar comunicar este orden como una lista con algunos puntos suspensivos.
Si tienes el conjunto $ , 1, 5, 3$, puedes escribirlo como $ , 3, 1, 5$. Estos son el mismo conjunto, contienen los mismos elementos.
Y esto no es cambiando el orden de elementos en un mismo conjunto, ya que no hay orden de elementos en el mismo conjunto. Estás hablando del mismo conjunto, solo usando palabras diferentes. Si yo digo
- “Mi familia está compuesta por mí, mi esposa y nuestra hija”,
y luego digo
- “Mi familia está compuesta por nuestra hija, mi esposa y yo”,
No cambié el orden de los miembros de mi familia, ¡eso ni siquiera significa nada en este contexto! Simplemente usé diferentes palabras para decir lo mismo.
Pero el quid de su pregunta no es si puede reordenar los elementos en un conjunto, sino qué significa “…”.
El “…” es una cosa divertida en los textos matemáticos. No es realmente un concepto matemático en absoluto, está corto de “Estimado lector, sabe lo que escribiría aquí si hubiera suficiente (posiblemente infinito) espacio y tiempo, así que supongamos que lo escribí aquí”.
Cuando escribes “$1, 2, 3, 4, …$”, el lector sabe que si tuvieras suficiente espacio, escribirías todos los enteros positivos allí, por lo que sabe que te refieres al conjunto de enteros positivos. Cuando escribes “$1, 2, 5, 4, 3, …$”, el lector no tiene idea de lo que escribirías ahí. El problema no es que escribiste el conjunto en un orden diferente, el problema es que no fuiste lo suficientemente claro cuando le dijiste al lector lo que querías decir.
Nuevamente, volvamos a un ejemplo de lenguaje natural (un poco torpe):
- “Recuerdo los nombres del tercer presidente de los Estados Unidos, el cuarto presidente de los Estados Unidos, el quinto presidente de los Estados Unidos, y así sucesivamente”.
El lector probablemente se dé cuenta de que quiere decir que conoce los nombres de todos los presidentes de los Estados Unidos, excepto quizás los dos primeros.
- “Recuerdo los nombres del presidente número 30 de los Estados Unidos, el presidente de los Estados Unidos número 6, el presidente de los Estados Unidos número 17, y así sucesivamente”.
El lector no tiene ni idea de lo que quieres decir.
En ZFC los dos conjuntos son el mismo conjunto. No veo por qué es problemático.