Después de observar en varios repositorios y páginas webs de internet finalmente hemos descubierto la resolución que te enseñaremos a continuación.
Solución:
Las dos matrices $left[ beginarraycc 1 & 0 \ 1 & 1 endarray right] $ y $izquierda[ beginarraycc 1 & 0 \ 200 & 1 endarray right] $ ambos tienen los mismos valores propios y vectores propios, pero no son ni mucho menos iguales entre sí.
Pero si una matriz $nveces n$ tiene $n$ valores propios distintos o tiene un conjunto de vectores propios que forman una base de $mathbb R^n,$ entonces la única matriz que tiene los mismos pares propios, es decir, los mismos vectores propios , cada uno con el mismo valor propio, es esa misma matriz. Esto se debe a que una transformación lineal está completamente determinada por lo que hace con una base.
Si, como suponen las otras respuestas, hay $n$ vectores propios independientes, es decir, si las matrices son diagonalizables, entonces la respuesta a su pregunta es sí; usando los vectores propios independientes $n$ como base, vemos que las matrices (en esa base) son idénticas y, por lo tanto, son idénticas en todas las bases. Sin embargo, si las matrices no son diagonalizables, es decir, si no hay $n$ vectores propios independientes, entonces las matrices no son necesariamente las mismas. Por ejemplo:
$$A = beginpmatrix 1&1\ 0&1\ endpmatrix;;texty;; B = beginpmatrix 1&2\ 0&1\ endpmatrix,, $$
son matrices diferentes que tienen los mismos vectores propios con los mismos valores propios ($1$ es el único valor propio y su espacio propio es unidimensional).
Además de necesitar una base completa de vectores propios (como señalaron otros), el orden es importante si su “igual” es igual a componente. Las siguientes dos matrices tienen el mismo conjunto de valores propios y el mismo conjunto de vectores propios:
$$A = beginpmatrix 2&0\ 0&1\ endpmatrix;;texty;; B = beginpmatrix 1&0\ 0&2\ endpmatrix,. $$
(Por el contrario, tener diferentes vectores propios no significa necesariamente que las matrices sean diferentes. Cualquier base de cada espacio propio funciona como vector propio. (Piense en escalas o valores propios repetidos).)