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Si dos espacios son homeomorfos y uno es un espacio métrico, ¿el otro también debe serlo?

Después de de nuestra extensa compilación de información pudimos solucionar este contratiempo que presentan algunos de nuestros usuarios. Te dejamos la respuesta y nuestro objetivo es resultarte de mucha ayuda.

Solución:

Si $(X, d_X)$ es un espacio métrico, entonces el homeomorfo $Y$ es el llamado espacio metrizable: un espacio al que se le puede dar una métrica que induce su topología. Un espacio métrico viene con una métrica predeterminada (y tiene una topología inducida por esta métrica), y es un tipo diferente de estructura.

La métrica es de hecho un transporte de la dada en $X$: $phi: X to Y$ (el homeomorfismo) tiene un inverso continuo bien definido (lo llamaré $psi: Y to X$ así que que $psi circ phi = 1_X$ y $phi circ psi = 1_Y$), y podemos definir $$d_Y: Y times Y to mathbbR text por: d_Y (y_1,y_2) = d_X(psi(y_1), psi(y_2))$$

Uno verifica fácilmente los axiomas para una métrica para $d_Y$ y por bijetividad y las definiciones obtenemos que $phi[B_d_X(x, r)] = B_d_Y(phi(x), r)$ para todos los $x in X, r>0$, etc., de modo que las bolas en la métrica $d_X$ se asignen a las bolas en la métrica $d_Y$ que muestra (con un poco de reflexión) que, de hecho, las bolas abiertas debajo de $d_Y$ están abiertas y forman una base para la topología de $Y$, de modo que $Y$ es metrizable.

Tu construcción se puede hacer independientemente de que $varphi$ sea un homeomorfismo: para cualquier biyección tendrás una estructura métrica en $Y$. Lo que podría ser interesante de verificar es si la topología inducida por la métrica $d’ = d(varphi^-1(-),varphi^-1(-))$ coincide con la topología original en $ Y$. Describamos las bolas abiertas de $d’$: let $y in Y$ y $varepsilon > 0$ . Ahora,

$$ B’_varepsilon(y) := x:d'(x,y) < varepsilon = x : d(varphi^-1(x), varphi^ -1(y)) < varepsilon = varphi(B_varepsilon(varphi^-1(y))). $$

Dado que $B_varepsilon(varphi^-1(y))$ es una bola en $X$ y $varphi$ es homeo, $B’_varepsilon(y)$ estará abierto en $Y$ con la topología original. De la misma manera, si $U subseteq Y$ está abierto para la topología original,

$$ U = varphi(varphi^-1(U)) = varphi(bigcup_i in IB_r_i(x_i)) = bigcup_i in Ivarphi( B_r_i(x_i)) = bigcup_i in IB’_r_i(phi(x_i)) $$

y entonces $U$ está abierto para la topología métrica. Aquí usamos que $varphi^-1(U)$ es un conjunto abierto de $X$ y por lo tanto es una unión de bolas abiertas.

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