Después de de nuestra extensa compilación de información pudimos solucionar este contratiempo que presentan algunos de nuestros usuarios. Te dejamos la respuesta y nuestro objetivo es resultarte de mucha ayuda.
Solución:
Si $(X, d_X)$ es un espacio métrico, entonces el homeomorfo $Y$ es el llamado espacio metrizable: un espacio al que se le puede dar una métrica que induce su topología. Un espacio métrico viene con una métrica predeterminada (y tiene una topología inducida por esta métrica), y es un tipo diferente de estructura.
La métrica es de hecho un transporte de la dada en $X$: $phi: X to Y$ (el homeomorfismo) tiene un inverso continuo bien definido (lo llamaré $psi: Y to X$ así que que $psi circ phi = 1_X$ y $phi circ psi = 1_Y$), y podemos definir $$d_Y: Y times Y to mathbbR text por: d_Y (y_1,y_2) = d_X(psi(y_1), psi(y_2))$$
Uno verifica fácilmente los axiomas para una métrica para $d_Y$ y por bijetividad y las definiciones obtenemos que $phi[B_d_X(x, r)] = B_d_Y(phi(x), r)$ para todos los $x in X, r>0$, etc., de modo que las bolas en la métrica $d_X$ se asignen a las bolas en la métrica $d_Y$ que muestra (con un poco de reflexión) que, de hecho, las bolas abiertas debajo de $d_Y$ están abiertas y forman una base para la topología de $Y$, de modo que $Y$ es metrizable.
Tu construcción se puede hacer independientemente de que $varphi$ sea un homeomorfismo: para cualquier biyección tendrás una estructura métrica en $Y$. Lo que podría ser interesante de verificar es si la topología inducida por la métrica $d’ = d(varphi^-1(-),varphi^-1(-))$ coincide con la topología original en $ Y$. Describamos las bolas abiertas de $d’$: let $y in Y$ y $varepsilon > 0$ . Ahora,
$$ B’_varepsilon(y) := x:d'(x,y) < varepsilon = x : d(varphi^-1(x), varphi^ -1(y)) < varepsilon = varphi(B_varepsilon(varphi^-1(y))). $$
Dado que $B_varepsilon(varphi^-1(y))$ es una bola en $X$ y $varphi$ es homeo, $B’_varepsilon(y)$ estará abierto en $Y$ con la topología original. De la misma manera, si $U subseteq Y$ está abierto para la topología original,
$$ U = varphi(varphi^-1(U)) = varphi(bigcup_i in IB_r_i(x_i)) = bigcup_i in Ivarphi( B_r_i(x_i)) = bigcup_i in IB’_r_i(phi(x_i)) $$
y entonces $U$ está abierto para la topología métrica. Aquí usamos que $varphi^-1(U)$ es un conjunto abierto de $X$ y por lo tanto es una unión de bolas abiertas.
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