Te recomendamos que pruebes esta solución en un entorno controlado antes de pasarlo a producción, saludos.
Solución:
Está claro que entiendes lo que está pasando, pero podría ayudarte a comunicarlo con mayor precisión si usas símbolos. Por ejemplo, si $a$ tiene factorización prima $$a = p_1^l_1 cdot p_2^l_2 cdot ldots cdot p_n^l_n$$ y $b$ tiene factorización prima $$b = q_1 ^k_1 cdot q_2^k_2 cdot ldots cdot q_m^k_m$$ entonces $ab$ tiene factorización prima $$ab = p_1^l_1 cdot p_2^l_2 cdot ldots cdot p_n^l_n cdot q_1^k_1 cdot q_2^k_2 cdot ldots cdot q_m^k_m.$$ No puede haber $p_i = q_j$ porque $a$ y $b$ son coprimos.
Como $ab$ es cuadrado, todos los $l_i$ y $k_i$ son pares, lo que completa la prueba.
Sí, basta con examinar la paridad de los exponentes de los números primos. Alternativamente, y de manera más general, podemos usar gcds para explícitamente mostrar $rm,a,b,$ son cuadrados. Escritura $,rm(m,n,ldots),$ por $rm, gcd(m,n,ldots),$ tenemos
Teorema$rm color#C00c^2 = ab, Rightarrow a = (a,c)^2, b = (b,c)^2: $ si $rm color#0A0(a,b,c) = 1 $ y $rm:a,b,cen mathbb N$
Prueba$rm (a,c)^2 = (a^2,color#C00c^2,ac), =, (a^2,color#C00 ab,ac),=, a,color#0A0(a,b,c) = a., $ Similarmente $rm,(b,c)^2 = b.$
El tuyo es el caso especial. $rm:(a,b) = 1 (Flecha derecha (a,b,c) = 1)$. La prueba anterior usa solo leyes universales de gcd (asociativa, conmutativa, distributiva), por lo que se generaliza a cualquier dominio/monoide de gcd (donde, en general, no es necesario que existan factores primos, pero sí existen gcd).
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