Solución:
Si $ A $ es simétrico, es diagonalizable. Entonces, escriba $$ A = PDP ^ {- 1} $$ donde $ D = text {diag} ( lambda_1, …, lambda_n) $ es una matriz diagonal cuyas entradas son los valores propios de $ A $. Entonces $$ e ^ A = Pe ^ DP ^ {- 1} $$ y es fácil ver que $ e ^ D = text {diag} (e ^ { lambda_1}, …, e ^ { lambda_n}) $. Pero dado que la exponencial es siempre positiva, esto significa que todos los valores propios de $ e ^ A $ son positivos. Por tanto, $ e ^ A $ es positivo definido.
Dado que $ A $ es simétrico y el operador $ cdot ^ T colon A in mathcal M_n ( mathbb R) mapsto A ^ T in mathcal M_n ( mathbb R) $ es continuo (como un operador lineal en un espacio vectorial de dimensión finita), la matriz $ e ^ {A / 2} $ es simétrica. Por lo tanto, tenemos para $ x in mathbb R ^ n $: $$ x ^ Te ^ Ax = x ^ Te ^ {A / 2} e ^ {A / 2} x = x ^ T (e ^ {A / 2}) ^ Te ^ {A / 2} x = (e ^ {A / 2} x) ^ Te ^ {A / 2} x = lVert e ^ {A / 2} x rVert ^ 2 geq 0, $$ y como $ e ^ {A / 2} $ es invertible, tenemos la igualdad si y solo si $ x = 0 $, lo que muestra que $ e ^ A $ es positivo definido.