Este dilema se puede tratar de diversas formas, pero en este caso te enseñamos la que en nuestra opinión es la solución más completa.
Solución:
Si dos mapas $varphi, psi : (X, x_0) to (Y, y_0)$ son homotópicos, entonces los mapas inducidos $varphi_*, psi_* : pi_1(X, x_0) to pi_1 (Y, y_0)$ son iguales. No tiene sentido decir que los mapas inducidos son homotópicos (como sugiere su pregunta), ya que los mapas inducidos son homomorfismos grupales, no mapas continuos entre espacios topológicos.
Una vez que sabemos esto, es fácil probar la declaración en su pregunta. Como $f circ g simeq operatornameid_Y$, tenemos $$ (f circ g)_* = f_* circ g_* = (operatornameid_Y)_* = operatorname identificación_pi_1(Y, y_0). $$
De manera similar, dado que $g circ f simeq operatornameid_X$, tenemos $$ (g circ f)_* = g_* circ f_* = (operatornameid_X)_* = nombre del operadorid_pi_1(X, x_0). $$
De ello se deduce que $f_*$, $g_*$ son inversas entre sí. Por tanto, son isomorfismos, y $pi_1(X, x_0)$, $pi_1(Y, y_0)$ son isomorfos.
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