Mauricio, miembro de este equipo, nos hizo el favor de crear esta sección porque controla muy bien este tema.
Solución:
Respuesta corta: La serie de Taylor de $sqrt x$ en $x_0 = 0$ no existe porque $sqrt x$ es no diferenciable a $0$. Para cualquier $x_0 > 0$, la serie de Taylor de $sqrt x$ en $x_0$ se puede calcular usando la serie de Taylor de $sqrt1 + u$ en $u_0 = 0$.
Respuesta larga: La serie de Taylor de una función $f$ infinitamente derivable en un punto $x_0$ es definido como
$$ sum_n=0^infty fracf^(n)(x_0)n!(x-x_0)^n = f(x_0) + fracf'(x_0 )1!(x-x_0) + fracf”(x_0)2!(x-x_0)^2 + ldots quad . $$ Por lo tanto:
- Pedir “la serie de Taylor de $f$” solo tiene sentido si especifica el punto $x_0$. (A menudo, este punto se asume implícitamente como $x_0 = 0$, en este caso también se denomina serie de Maclaurin de $f$).
- La serie de Taylor de $f$ en $x_0$ solo se define si $f$ es infinitamente diferenciable en $x_0$. (Pero la serie de Taylor no necesita ser convergente para cualquier $x ne x_0$, e incluso si converge en una vecindad de $x_0$, el límite puede ser diferente de la función dada $f$).
Cada serie de Taylor es una serie de potencias $ sum_n=0^infty a_n (x-x_0)^n $ y la conexión es aproximadamente la siguiente: Si existe una serie de potencias tal que $$ f(x) = sum_n=0^infty a_n (x-x_0)^n text en una vecindad de $x_0$ $$ entonces
- $f$ es infinitamente diferenciable en $x_0$, y
- $a_n = f^(n)(x_0)/n!$ para todo $n$, es decir, la serie de potencias es exactamente la serie de Taylor.
Ahora aplicando eso a tu pregunta: Estás preguntando por la serie de Taylor de $f(x) = sqrt x$. Si te refieres a la serie de Taylor en $x_0 = 0$: No es definido porque $sqrt x$ no es diferenciable en $x_0 = 0$. Por la misma razón, no existe una serie de potencias que converja a $f$ en un entorno de $0$.
Pero $f(x) = sqrt x$ se puede desarrollar en una serie de Taylor en cualquier $x_0 > 0$. La fórmula general se da en la respuesta de Mhenni Benghorbal. La razón por la que a menudo solo se da en los libros la serie de Taylor para $sqrt1 + x$ es que, para la función de raíz cuadrada, el caso general se puede reducir fácilmente al caso especial: $$ sqrt mathstrut x = sqrt mathstrut x_0 + x – x_0 = sqrt mathstrut x_0sqrt 1 + frac mathstrut x-x_0x_0 $$ y ahora puedes usar el Serie de Taylor de $sqrt1+u$ en $u_0 = 0$.
El mismo “truco” funcionaría para funciones como $g(x) = x^alpha$ porque $g(x) = g(x_0) cdot g(1 + frac x-x_0x_0)$
Supongo que estás hablando de la serie de Taylor a $0$ por $sqrtx$. Intentemos calcular la serie de Taylor en $0$: $$ f(x)=f(0)+f'(0)(x-0)+f”(0)frac(x-0)^2 2+dots $$ $f(0)=0$, pero $f'(x)=frac12sqrtx$ explota en $x=0$. Dado que $sqrtx$ no tiene una primera derivada en $0$, no tiene una serie de Taylor ahí.
Nota: Estrictamente hablando, lo que se demuestra a continuación es que $sqrtx$ no puede tener una expansión asintótica de la forma $a_0 + a_1 x + o(x)$ como $x to 0$.
No existe una serie de Taylor a $0$. Si lo hubiera, sería $$sqrtx = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + dots.$$
Obviamente, $a_0$ tendría que ser $0$, pero $sqrtx$ es mucho más grande como $x to 0$ que cualquier expansión que comience con $a_1 x$. Por ejemplo, tendríamos $$frac1sqrtx = fracsqrtxx = a_1 + a_2 x + dots rightarrow a_1,$$ como $ x to 0$, pero $frac1sqrtx$ no tiene un límite finito como $x to 0$.
Por otro lado, es fácil obtener la expansión de Taylor para $sqrtx$ en $a > 0$ a partir de $sqrt1 + x$ en $0$. Estableciendo $h = x – a$, tienes $$sqrtx = sqrta + h = sqrtasqrt1 + h/a,$$ y luego expandes $ sqrt1 + h/a$ en potencias de $h/a$.
Puedes añadir valor a nuestro contenido informacional contribuyendo tu veteranía en las interpretaciones.