Este dilema se puede tratar de diferentes maneras, sin embargo te enseñamos la respuesta más completa en nuestra opinión.
Solución:
Permítanme suponer $g>2$, de modo que hay una curva $C$ sobre $K_g$ de género $g$ (la curva genérica) — la condición de género asegura que la curva genérica no tenga automorfismos. Se sabe, pero no es obvio, que $C$ no tiene puntos racionales $K_g$ (esto se debe a Hain-Matsumoto en la característica cero y Watanabe en la característica positiva, si no recuerdo mal). Si elige cualquier punto cerrado de $C$ con campo residual $L$, el cambio de base a $L$ tendrá un punto racional.
Hay una elección razonablemente canónica de $L$. Es decir, sea $W_g$ el espacio de módulos de las curvas con un punto de Weierstrass. Entonces $W_g$ está conectado y $W_gto M_g$ no es Galois, pero es genéricamente etale con el grupo monodrómico es $S_g(g^2-1)$ por este artículo de Eisenbud-Harris. Así, siendo $L_g$ el campo funcional de $W_g$, la curva genérica obtiene un punto racional sobre $L_g$ (es decir, el punto genérico de Weierstrass). $L_g/K_g$ no es Galois, pero su cierre de Galois tiene el grupo de Galois $S_g(g^2-1)$.
Por supuesto, esto también funciona en el género $<2$, siempre y cuando considere que el punto genérico de $mathcalM_g$ es un punto de pila en lugar de la especificación de un campo.
Esto se hizo demasiado largo para ser un comentario, pero…
¿No es $mathcalM_g$ solo una pila? ¿No es el campo de función de una pila solo el campo de función de su esquema de módulos gruesos (si existe?)
Por ejemplo, a diferencia del caso de los esquemas, no creo que haya un mapa canónico $Spec(K_g)rightarrowmathcalM_g$. Cualquier mapa de este tipo está dado por definición por un objeto de $mathcalM_g$ sobre $K_g$, que es precisamente el retroceso de $mathcalM_g,1rightarrowmathcalM_g $ a $K_g$.
Por ejemplo, si reemplaza $mathcalM_g$ con $mathcalM_1,1$, entonces hay infinitas curvas elípticas sobre $mathbbQ(j)$ con $j $-invariante $j$, correspondiente a infinitos mapas $Spec;mathbbQ(j)rightarrowmathcalM_1,1$, cada uno de los cuales puede considerarse como un “genérico punto”, y ninguno de ellos parece ser preferible a otro.
Véase, por ejemplo, la respuesta de Noam Elkies a: Preguntas sobre la “curva elíptica universal” sobre la línea afín $j$ perforada en 0 y 1728