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Sea $X$ un espacio vectorial normado. Sean $T,S$ operadores lineales acotados tales que $T^2=T,S^2=S,ST=TS$. Mostrar $T=S$ o $|TS|geq 1$

Este equipo de trabajo ha estado mucho tiempo investigando para dar soluciones a tus interrogantes, te ofrecemos la respuestas de modo que nuestro objetivo es serte de mucha ayuda.

Solución:

Consideramos dos casos:

  1. $ker T neq ker S$. Entonces WLOG podemos suponer que existe $x in ker S setminus ker T$. Entonces $Transmisión neq 0$ mientras $Sx = 0$. Asi que
    $$ (TS)(Tx) = T^2x – STx = Tx – TSx = Tx, $$
    y entonces, $ | T – S | geq 1$.

  2. $ker T = ker S$. Notamos eso $operatornameim(1-T) subseteq ker T = ker S$. Entonces, para cualquier $x$,
    $$ Sx = S((1-T)x + Tx) = Sunderbrace(1-T)x_in ker S + STx = STx. $$
    Por el mismo argumento, tenemos $Tx = TSx = STx$ para todos $x$. Por lo tanto $T = S$.

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