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Sea $R$ un anillo noetheriano conmutativo (con unidad), y sea $I$ un ideal de $R$ tal que $R/I cong R$. Entonces es $I=(0)$?

Por fin después de mucho batallar ya encontramos el arreglo de esta dificultad que muchos de nuestros usuarios de nuestro sitio han tenido. Si quieres compartir alguna información no dejes de dejar tu comentario.

Solución:

Suponga que $R/I$ y $R$ son isomorfos. Denotemos el isomofismo por $f:R/I to R$.

Sea $pi:R to R/I$ la aplicación usual $x mapsto x + I$. Este es, por supuesto, un homomorfismo de anillo sobreyectivo.

La composición $f circ pi : R to R$ es por lo tanto un endomorfismo de anillo sobreyectivo (la composición de sobreyecciones es una sobreyección).

Por el resultado citado en la pregunta $f circ pi$ es un isomorfismo, en particular es inyectivo. De ello se deduce que $pi$ es inyectiva, de lo contrario la composición no podría ser inyectiva.

El núcleo de $pi$ es por lo tanto $$; también es $I$. Así $I = $

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