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Sea G un grupo de orden $125$. ¿Tendrá un subgrupo de orden $25$?

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Solución:

Primer teorema de Sylow: Sea $G$ un grupo finito y $p$ un número primo. Entonces, para cada $p^k$ que divide a $|G|$, $G$ tiene un subgrupo de orden $p^k$.

De esto se sigue directamente que $G$ tiene subgrupos de orden $5$ y $5^2=25$.

También me gustaría que tomara nota de las siguientes observaciones y pruebe los siguientes resultados como un ejercicio práctico.

Resultado-1: El centro de un Grupo nunca es un subgrupo máximo.

Resultado-2: Si $|G|=p^k$, donde $p$ es primo, entonces $G$ tiene un centro no trivial.

De los resultados anteriores, podemos continuar diciendo que $|Z(G)|=5$.

La "gran propiedad" que necesitas es que un grupo de orden $p^n$ ($p$ un primo, $n>0$) tiene un centro no trivial. Este es uno de los hechos más importantes sobre los grupos $p$.

La prueba del hecho es consecuencia de la ecuación de clase de conjugación.

Una vez que lo acepta, es bastante simple probar la siguiente proposición.

Sea $G$ un grupo $p$ de orden $p^n$. Si $0le k

Prueba. El caso $n=1$ es obvio. Así que supongamos que la afirmación se cumple para cada grupo $p$ de orden $p^n-1$, con $n>1$.

Por el hecho mencionado anteriormente, $|Z(G)|=p^z$, con $z>0$, por lo que tiene un subgrupo $Z_0$ de orden $p$ que obviamente es normal en $G$.

No hay nada que probar para $k=0$, así que asume $0

Los grupos con orden de una potencia de primo (es decir, $p$-grupos) tienen el

Propiedad: tener un normal subgrupo de orden $d$ por cada $d$ que divide el orden del grupo.

Esto no es una coincidencia, de hecho, un grupo $p$ finito es nilpotente y los grupos nilpotentes finitos se caracterizan por la propiedad anterior (recuerde que los grupos nilpotentes finitos son producto directo de sus subgrupos $p$-Sylow). esto ya no es true si relajamos la nilpotencia a la solubilidad ($S_3$ con $p=2$).
Si no nos importa la normalidad, podemos preguntarnos si un grupo $G$ tiene un subgrupo de orden $d$ por cada $d$ que divide a $|G|$. Esto se llama propiedad CLT (es decir, recíproca del teorema de Lagrange) que ha sido ampliamente estudiada. Para este tema, esta pregunta es relevante. En particular, un subgrupo normal mínimo de un grupo supersoluble debe tener orden primo y por inducción sobre el cociente se puede demostrar que "supersoluble" $implica$ CLT. Finalmente, un grupo $G$ que es CLT, en particular, tiene un complemento $p$ (es decir, un subgrupo con índice igual al orden de $p$-Sylow) para cada primo $p$ que divide a $|G|$ , y es resoluble por el inverso del Teorema de Hall.

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