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¿Se puede extender siempre un isomorfismo de subgrupos de un grupo finito a un automorfismo en el grupo?

Esta es la solución más correcta que encomtrarás aportar, pero primero obsérvala pausadamente y valora si se adapta a tu trabajo.

Solución:

Los subgrupos cíclicos generados por $(12)$ y $(12)(34)$ en $S_4$ son isomorfos, pero no hay automorfismo de $S_4$ enviándose uno a otro: todo automorfismo de $S_4$ es interior y $(12)$ y $(12)(34)$ no son conjugados, siendo de diferentes tipos de ciclo.

Ejemplo 1. Un subgrupo normal isomorfo a un subgrupo no normal.
$H=(1), (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)$ y $K=(1), (1 2), (3 4), (1 2)(3 4)$ son subgrupos isomorfos de $S_4$pero $H$ es un subgrupo normal de $S_4$ y $K$ no es. Un automorfismo de un grupo debe llevar subgrupos normales a subgrupos normales.

Ejemplo 2. Un ejemplo abeliano.
$G=langle(1 2 3 4), (5 6)rangle$ es un grupo abeliano de orden $8$. los subgrupos $H=langle(1 2 3 4)^2rangle$ y $K=ángulo(5 6)ángulo$ son subgrupos isomorfos de orden $2$. Sin automorfismo de $G$ mapas $(1 2 3 4)^2$ a $(5 6)$ya que la permutación impar $(5 6)$ no es un cuadrado; también, los grupos cocientes $G/H$ y $G/K$ son no isomorfos.

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