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Solución:
Sea $p$ la probabilidad deseada y considere la primera tirada. Es $6$, en cuyo caso terminamos y la suma es par, $2$ o $4$, en cuyo caso queremos que la suma del resto de los términos sea par, o $1,3$ , o $5$, en cuyo caso queremos que la suma del resto sea impar.
Así $$p = frac16+ frac13p+frac12(1-p)$$ que se simplifica a $p=frac4 7$.
Sólo necesitamos considerar los rollos antes de se obtiene $6$, porque sacar $6$ pares no cambia la paridad de nuestro total. Sea $p_n$ la probabilidad de que la suma de $n$, sin incluir $6$, sea par. Entonces tenemos: $p_n+1=frac25p_n + frac35(1-p_n)$, porque $2$ o $4$ mantienen un total par anterior par, mientras que $1$, $3$ o $5$ hacen un total impar anterior en un total par. Esto se simplifica a: $p_n+1=frac35-frac15p_n$. También tenemos $p_0=1$. Podemos resolver esta recurrencia y encontrar que
$$p_n=frac12left(1+left(-frac15right)^nright)$$
Ahora, deja que $x_n$ represente la probabilidad de obtener $n$ que no sean 6 antes de los primeros $6$, por lo que $x_n=frac16left(frac56right)^n$. El número que necesitamos es:
$$beginalign sumlimits_n=0^infty x_np_n &= sumlimits_n=0^infty left[frac16left(frac56right)^ncdotfrac12left(1+left(-frac15right)^nright)right]\ &=frac112sumlimits_n=0^infty left[left(frac56right)^n + left(-frac16right)^nright]\ &=frac112left(6 + frac67right) = frac47 endalign$$
Dicho esto, la respuesta de @ carmichael561 es mucho, mucho mejor.
Sea $p$ la probabilidad de que la suma del dado hasta (e incluyendo) los seis primeros sea par.
Sea $R_1$ la tirada del primer dado. Entonces, dividiendo en este rollo y notando la recurrencia:
$$p= subrayadoqquad,mathsf P(R_1in\underlineqquad)+subrayadoqquad,mathsf P(R_1in\subrayadoqquad)+ subrayado ~1~,mathsf P(R_1=6)$$
Llene los espacios en blanco, evalúe las probabilidades y luego resuelva para $p$.
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