Nuestros desarrolladores estrellas agotaron sus provisiones de café, por su búsqueda noche y día por la respuesta, hasta que Diego encontró el resultado en Beanstalk y hoy la compartimos aquí.
Solución:
Asumiendo que las bolas y las cajas se pueden distinguir, deberías haber multiplicado $3 brace 2$ por $3!$ más bien que $2!$ en el caso de que se deje una casilla vacía, donde $n brace k = S(n, k)$.
Veamos el caso en el que se deja exactamente una casilla vacía. Se deben colocar dos bolas en una caja y la otra bola se debe colocar en otra. Existen $binom32$ maneras de elegir qué dos bolas se colocan juntas en una caja. Si las cajas son indistinguibles, colocamos estas dos bolas en una caja y colocamos la otra bola en otra caja. Por lo tanto, si las cajas fueran indistinguibles, el número de formas en que podemos distribuir tres bolas distintas a tres cajas indistinguibles para que una caja quede vacía es
$$3 brace 2 = binom32 = 3$$
Si las cajas son realmente distinguibles, importa qué caja recibe dos bolas, qué caja recibe una bola y qué caja no recibe bolas. Existen $3!$ tales asignaciones. Por lo tanto, el número de formas de distribuir tres bolas distintas a tres cajas distintas para que quede exactamente una caja vacía es
$$3 brace 23! = 18$$
Puesto que hay $3!$ formas de distribuir tres bolas distintas en tres cajas distintas para que no quede ninguna caja vacía, el número de formas de distribuir tres bolas distintas en tres cajas distintas para que como máximo quede una caja vacía es
$$3! + 3 brace 23! = 24$$
Un enfoque alternativo
Suponga que las cajas se distinguen desde el principio.
No se deja ninguna casilla vacía: Existen $3! = 6$ maneras de asignar cada una de las tres bolas distintas a una caja diferente.
Queda exactamente una casilla vacía: Si exactamente una casilla está vacía, hay tres formas de decidir qué casilla recibirá dos bolas y dos formas de asignar una segunda casilla para recibir la bola restante. Existen $binom32$ formas de decidir qué dos bolas se colocan en la caja que recibirá dos bolas y una forma de colocar la bola restante en la caja que recibirá una bola. Por lo tanto, hay
$$3 cdot 2 cdot binom32 = 3!binom32 = 18$$
formas de distribuir tres bolas distintas en tres cajas distintas de modo que exactamente una caja quede vacía.
Por lo tanto, hay de hecho
$$3! + 3!binom32 = 6 + 18 = 24$$
formas de distribuir tres bolas distintas en tres cajas distintas de modo que como máximo una caja quede vacía.
Comentarios y valoraciones del tutorial
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