Luego de de nuestra larga búsqueda de datos hemos podido solucionar este asunto que pueden tener ciertos usuarios. Te dejamos la respuesta y nuestro objetivo es servirte de mucha apoyo.
Solución:
La prueba de raíz racional muestra que las únicas soluciones racionales posibles son $pm 1$. Sustituyendo da que $x = -1$ es uno (pero $x = 1$ no lo es), por lo que la división polinomial larga da $p(x) = -(x + 1) q(x)$ para alguna quíntica $q$ . Sustituyendo $x = -1$ da que $-1$ no es una raíz de $q$, por lo que si $q$ se factoriza sobre $Bbb Q$, lo hace en una cuadrática irreducible y una cúbica irreducible. Uno puede encontrar tal factorización sin demasiado esfuerzo (esto se hace más fácil por el hecho de que los coeficientes principal y constante son ambos $1$): Obtenemos $$p(x) = -(x + 1)underbrace(x ^2 – x + 1)(x^3 – x^2 – 2 x + 1)_q(x) .$$ El discriminante de la cuadrática es $-3 < 0$, por lo que la raíz real que he identificado debe ser un factor de la cúbica; dado que el cúbico no tiene raíces racionales, se necesita usar la fórmula de Cardano o el equivalente para extraerlo.
Usando un complicado sistema de álgebra computacional (Mathematica 10.4), podemos obtener todas las raíces de esta ecuación como radicales. Dos raíces son complejas y el resto son todas reales (sorprendentemente).
Module[roots,
roots = Solve[-x^6 + x^5 + 2 x^4 - 2 x^3 + x^2 + 2 x - 1 == 0, x];
Transpose[
N[x /. roots],
FullSimplify[Element[x, Reals] /. roots],
x /. roots
]
] // TableForm
- Hay dos raíces complejas en $frac12 pm mathrmisqrt3$.
- Hay una raíz real en $-1$.
- Los otros tres son complicados y real: beginalign 1,80194puntos &= frac13 left(1+frac7^2/3sqrt[3]frac12 left(-1+3 mathrmi sqrt3right)+sqrt[3]frac72 left(-1+3 mathrmi sqrt3right)right), \ -1.24698dots &= frac1 3-frac7^2/3 left(1+mathrmi sqrt3right)3 2^2/3 sqrt[3]-1+3 mathrmi sqrt3-frac16 left(1-mathrmi sqrt3right) sqrt[3]frac72 left(-1+3 mathrmi sqrt3right), \ 0.445042dots &= frac13- fracción7^2/3 left(1-mathrmi sqrt3right)3 2^2/3 sqrt[3]-1+3 mathrmi sqrt3-frac16 left(1+mathrmi sqrt3right) sqrt[3]frac72 left(-1+3 mathrmi sqrt3right) text. endalign
Convenientemente, el primero está en el intervalo que requieres.
Estas tres raíces complicadas son las raíces del mismo polinomio que obtiene @Travis.
Mirando la estructura del grupo de Galois, creo que no podemos prescindir de los números complejos en estas expresiones.
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