Después de de nuestra prolongada búsqueda de datos dimos con la respuesta este inconveniente que pueden tener algunos usuarios. Te regalamos la solución y nuestro objetivo es servirte de mucha apoyo.
Solución:
Si su matriz es cuadrada o no, no es lo que determina el espacio de solución. Es el rango de la matriz en comparación con el número de columnas lo que determina eso (ver el teorema de nulidad de rango). En general puede tener cero, una o un número infinito de soluciones para un sistema lineal de ecuaciones, dependiendo de su relación de rango y nulidad.
Sin embargo, para responder a su pregunta, puede usar la eliminación gaussiana para encontrar el rango de la matriz y, si esto indica que existen soluciones, encontrar una solución particular x0 y el espacio nulo Null(A) de la matriz. Luego, puede describir todas sus soluciones como x = x0 + xn, donde xn representa cualquier elemento de Null(A). Por ejemplo, si una matriz es de rango completo, su espacio nulo estará vacío y el sistema lineal tendrá como máximo una solución. Si su rango también es igual al número de filas, entonces tiene una solución única. Si el espacio nulo es de dimensión uno, entonces tu solución será una línea que pase por x0, cualquier punto en esa línea que satisfaga las ecuaciones lineales.
Ok, primero: un sistema de ecuaciones no cuadrado pueden tener una solución exacta
[ 1 0 0 ][x] = [1]
[ 0 0 1 ][y] [1]
[z]
claramente tiene una solución (en realidad, tiene una familia de soluciones unidimensional: x=z=1). Incluso si el sistema es sobredeterminado en vez de indeterminado Todavía puede tener una solución:
[ 1 0 ][x] = [1]
[ 0 1 ][y] [1]
[ 1 1 ] [2]
(x=y=1). Es posible que desee comenzar mirando mínimos cuadrados métodos de solución, que encuentran la solución exacta si existe, y “la mejor” solución aproximada (en algún sentido) si no existe.
Tomando Ax = b, teniendo A m columnas y n filas. No tenemos la garantía de tener una única solución, que en muchos casos se debe a que tenemos más ecuaciones que incógnitas (m más grande n). Esto podría deberse a mediciones repetidas, que realmente queremos porque somos cautelosos con la influencia del ruido.
Si observamos que no podemos encontrar una solución que en realidad significa, que hay no hay manera de encontrar b recorriendo el espacio de columnas atravesado por A. (Como x solo está tomando una combinación de las columnas).
Sin embargo, podemos preguntar por el punto en el espacio generado por A que es el más cercano a b. ¿Cómo podemos encontrar tal punto? Caminando en un avión lo más cerca que uno puede estar de un punto fuera de él, es caminar hasta que estés justo debajo. Geométricamente hablando esto es cuando nuestro eje de visión es perpendicular al plano.
Eso es algo de lo que podemos tener una formulación matemática. Un vector perpendicular nos recuerda a las proyecciones ortogonales. Y eso es lo que vamos a hacer. El caso más simple nos dice que hagamos a.T b. Pero podemos tomar toda la matriz. A.T b.
Para nuestra ecuación, apliquemos la transformación a ambos lados: A.T Ax = A.T b. El último paso es resolver para x tomando la inverso de A.T A:
x = (A.T A)^-1 * A.T b
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