Esta duda se puede tratar de variadas maneras, pero en este caso te mostramos la resolución más completa para nosotros.
Solución:
La ecuación $x^m + bx = 1$ tiene solución en serie en potencias de $b$: $$x = 1 – sum_k=1^infty dfracprod_j=1^ k-1 (jm-k-1)k!; m^k b^k$$ que se puede expresar en términos de funciones hipergeométricas.
Para ecuaciones generales de grado $k>4$ se puede usar,
- Funciones fucsias
- funciones theta
- Integrales de Mellin
Dados los enteros positivos $m,n$ y $m+n=k$, si la ecuación general de grados $k$ puede resolverse por un método determinado, se sigue que las ecuaciones generales de grados $m,n$ pueden ser también
Por ejemplo, se puede multiplicar la cúbica general por una cuadrática arbitraria y resolver el producto como una “quíntica”, expresando así las raíces cúbicas (y las cuadráticas) en términos de funciones elípticas.
Sin embargo, si eso se considera “hacer trampa”, entonces uno puede Ingeniería inversa la fórmula elíptica y adaptarla para otros grados. Para la quíntica, comienzas con una ecuación modular de grado seis,
$$Omega_5 = u^6 – v^6 + 5u^2v^2(u^2-v^2)+4uv(1-u^4v^4)=0tag1$$
y usa esto para resolver $x^5-x+a=0$. Los detalles están aquí. Si deseamos ir más alto, hay una ecuación modular de grado ocho,
$$Omega_7 = (1-u^8)(1-v^8)-(1-uv)^8 = 0tag2$$
Desafortunadamente, no podemos reducir en radicales el séptico general a la forma de un parámetro, por lo que el séptimo grado general no puede resolverse mediante funciones elípticas. Si bajamos, hay una ecuación modular de grado cuatro,
$$Omega_3 =u^4 – v^4 + 2uv(1 – u^2v^2) = 0tag3$$
Ahora, el cúbico se puede reducir a la forma de un parámetro $x^3-x+a=0$ y se puede suponer que se pueden aplicar métodos análogos en (3) para resolverlo. Sin embargo, parece que nadie ha resuelto los detalles precisos. (Naturalmente, ya que resolver el cúbico usando funciones elípticas parece ser como bombardear un mosquito).
Para el cuadrático, es más fácil. Se puede reducir a la forma de un parámetro,
$$x^2+2ax+1=0$$
y el fórmula elíptica para la cuadrática general es dado por,
$$x_1^4 =lambda(2tau),;;; x_2^4 =frac1lambda(2tau)=left(fraceta^3(2tau)sqrt2,eta(tau) ,eta^2(4tau)right)^8$$
$$tau = i,fracK(k’)K(k) = i,frac,_2F_1big(tfrac12,tfrac1 2,1,1-tfrac1a^2grande),_2F_1grande(tfrac12,tfrac12,1, tfrac1a^2grande)tag4$$
donde $lambda(tau)$ es el función lambda elíptica$eta(tau)$ es el Función eta de Dedekind$K(k)$ es el integral elíptica completa de primera clasey $,_2F_1$ es el función hipergeométrica.
(Nota: Al sacar la raíz cuarta de $x_i$, se debe tener cuidado de colocar la potencia correcta de la raíz cuarta de la unidad $zeta_4 = exp(2pi i/4)$, especialmente cuando los coeficientes de las cuadráticas son complejas.)
$colorredEditar$: (algún tiempo después)
Destruyamos al mosquito. La cúbica se puede reducir a la forma,
$$x^3-x+b=0$$
los fórmula elíptica para el cúbico general es, definir,
$$w^2-(4-27b^2)w+(4-27b^2) =0$$
$$tau = fracisqrt3frac,_2F_1big(tfrac13,tfrac23,1,1-w grande),_2F_1grande(tfrac13,tfrac23,1,wgrande)tag5$$
$$u =izquierda(fraceta^4(3tau)3,eta(tau),eta^3(9tau)derecha)^3$$
después,
$$x=pmsqrtfrac4u-13u-3$$
donde se elige el signo apropiado de la raíz cuadrada. (Esta es una fórmula más simple que una edición anterior).
Nótese la diferencia entre (4) y (5) ya que este último es La teoría de Ramanujan de las funciones elípticas de la firma 3. Esto da una raíz de la cúbica, y algunas modificaciones a $tau$ probablemente puedan dar las otras dos raíces.
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