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Solución:
A continuación, puede utilizar su técnica de interpolación favorita. Como dices, tienes un montón de puntos (t,x). Así que puedes alimentarlos a una rutina spline, o un ajuste polinomial, o lo que sea. Si tiene algún conocimiento de la forma funcional, puede tomar estos puntos de datos para ajustar la forma, pero puede ser mejor usar su ecuación diferencial para eso.
Tomemos, por ejemplo, los métodos de Runge-Kutta. Sean $t_1$, $t_2$, etc., los puntos dados por el tamaño de paso del método. Entonces el método de Runge-Kutta no solo te da la solución aproximada en los puntos $t_1$, $t_2$, etc., sino también en los puntos intermedios entre, digamos, $t_1$ y $t_2$, dependiendo del orden del método . Puede usar estos puntos intermedios (entre $t_1$ y $t_2$, junto con los puntos finales $t_1$ y $t_2$) para construir un polinomio de interpolación entre $t_1$ y $t_2$, de modo que la solución aproximada resultante sea una función polinomial por partes, más general que las funciones lineales por partes, y la precisión será tan buena como la del método de Runge-Kutta en los puntos de malla.
Recuerde que cualquiera que sea el método que utilice para resolver $y^prime=f(t,y)$, ya sea Runge-Kutta, Bulirsch-Stoer (extrapolativo), Gear/Adams multipaso o métodos más elaborados, uno siempre tiene un triple de valores $(t_i,y_i,y_i^prime)$ ($y_i^prime=f(t_i,y_i)$) en cada punto de evaluación. Por lo tanto, siempre se puede hacer una interpolación cúbica de Hermite entre los puntos $(t_i,y_i)$ y $(t_i+1,y_i+1)$ (tenga en cuenta que no asumo que los puntos de evaluación están equiespaciados , como suele ser el caso cuando se hace una resolución adaptativa). Si el método subyacente tiene una precisión de tercer orden como máximo, Hermite cúbico es una buena opción.
Ahora, el resultado es que las implementaciones modernas de los solucionadores DE siempre son compatibles con la llamada “salida densa”; brevemente, asociado con un método con “precisión” de orden $p$ (entre comillas, ya que “un orden alto no siempre implica una precisión alta” ;)) tiene asociada una función de interpolación de orden $p$. Para usar mi ejemplo favorito, el solucionador de Runge-Kutta adaptativo $(4,5)$ basado en los coeficientes de Dormand-Prince tiene una función de interpolación de quinto orden asociada. Las propiedades especiales inherentes a los coeficientes permiten la existencia de una función interpoladora asociada con el mismo orden de “exactitud”; en general, no todos los coeficientes de Runge-Kutta tendrán una función de interpolación “agradable” asociada (pero, de nuevo, siempre se puede hacer un Hermite cúbico).
Podría decir más, pero los libros de Hairer/Nørsett/Wanner tienen una discusión extensa sobre la producción densa (y lo dicen mejor de lo que puedo decir), así como las rutinas utilizables (también disponibles en el sitio). Harías bien en estudiarlos.
Recuerda algo, que tienes la capacidad de explicar tu experiencia si te fue preciso.