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Solución:
Para el álgebra de Poincaré existen (hasta donde yo sé) dos enfoques diferentes para encontrar sus representaciones. En el primer enfoque, se parte de una representación de dimensión finita del álgebra de Lorentz (complejada), y usándola se construye una representación en el espacio de algunos campos en el espacio de Minkowski. La representación así obtenida no suele ser irreducible y se obtiene una representación irreducible a partir de ella a través de alguna ecuación diferencial. Por ejemplo, el espacio de campos masivos de Dirac que satisfacen la ecuación de Dirac forman una representación irreducible del grupo de Poincaré (agregado más tarde: la última declaración no es del todo correcta).
Otro enfoque es encontrar la representación espacial de Hilbert (irreducible, unitaria) del componente de identidad del álgebra de Poincaré mediante el llamado “método de grupos pequeños”. Esto es lo que está haciendo Weinberg en las páginas 62-64 del volumen 1 de su libro QFT. La idea de este enfoque es la siguiente:
En el espacio de cantidad de movimiento, fije un hiperboloide $S_m=p$ correspondiente a una masa dada (no negativa) $m$. (nota: aquí estoy usando la firma $(1,-1,-1,-1)$)
Elija un $k$ de 4 impulsos en $S_m$. Sea $G_k$ el subgrupo máximo de (la componente identidad) del grupo de Lorentz tal que $G_k$ fija $k$. es decir, para cada transformación de Lorentz $Lambdain G_k$ tenemos $Lambda k=k$. $G_k$ se llama pequeño grupo correspondiente a $k$ de 4 impulsos.
Sea $V_k$ una representación irreducible fija de dimensión finita de $G_k$ (o doble cobertura de $G_k$)$^**$. Fije una base de este espacio vectorial $|k,1rangle,|k,2rangle,ldots,|k,nrangle$ donde $n$ es la dimensión (compleja) de $V_k$ observe que $k $ es un vector fijo y no una variable.
Ahora, para cualquier otro $pin S_m$, introduzca un espacio vectorial $V_p$ que está atravesado por la base $|p,1rangle,|p,2rangle,ldots,|p,nrangle;. ps
La representación del espacio de Hilbert de (el componente de identidad de) el grupo de Poincaré ahora se construye pegando estos espacios vectoriales $V_p$ juntos. Esto se hace de la siguiente manera: –
i) Defina $H$ como la suma directa de $V_p$.
ii) Para cada $pin S_m$ fije una transformación de Lorentz $L_p$ que lo lleve de $k$ a $p$, es decir, $L_p(k)=p$. También fije un número $N(p)$ (esto se usa para fijar la normalización adecuada para los estados base). En particular, toma $L_k=I$.
iii) Defina el operador $U(L_p)$ correspondiente a $L_p$ en $V_k$ como:-
$U(L_p)|k,sigmarangle =N(p)^-1|p,sigmarangle,:sigma=1,ldots,ntag1$
Esto solo define la acción de $L_p$ en el subespacio $V_k$ de $H$. Pero, de hecho, esta definición se extiende únicamente a la acción de la totalidad del (componente de identidad del) grupo de Poincaré sobre la totalidad de $H$ de la siguiente manera:
Suponga que $Lambda$ sea CUALQUIER transformación de Lorentz en el componente de identidad del grupo de Lorentz, y que $|p,sigmarangle$ sea cualquier estado base. Entonces (todos los siguientes pasos son del libro de Weinberg):
beginalignU(Lambda)|p,sigmarangle &= N(p) U(Lambda) U(L_p)|k,sigmarangle,,,,, , textrmusando def. (1)\ &= N(p) U(Lambda.L_p)|k,sigmarangle ,,,, textrm(de requerir,, U(Lambda) U(L_p)=U(Lambda.L_p))\ &= N(p) U(L_Lambda p.L_Lambda p^-1.Lambda.L_p)|k, sigmarangle\ &= N(p) U(L_Lambda p)U(L_Lambda p^-1.Lambda.L_p)|k,sigmarangle;. endalinear
Ahora tenga en cuenta que $L_Lambda p^-1.Lambda.L_p $ es un elemento de $G_k$ verifíquelo y $V_k$ es una representación irreducible de $G_k$. Entonces $U(L_Lambda p^-1.Lambda.L_p)|k,sigmarangle$ está nuevamente en $V_k$; y de (1) sabemos cómo actúa $U(L_Lambda p)$ sobre $V_k$; así sabemos que es $U(Lambda)|p,sigmarangle;.$
En resumen, la idea del método del grupo pequeño es construir representaciones espaciales de Hilbert irreducibles del componente de identidad del grupo de Poincaré a partir de representaciones irreducibles de dimensión finita del grupo pequeño correspondientes a cuatro momentos fijos.
$^**$ Si $V_k$ no es una representación adecuada de $G_k$ pero es una representación de la doble cubierta $mathcalG_k$ de $G_k$ entonces también necesitaremos especificar una sección $G_kto mathcalG_k$ del mapa de cobertura para que sepamos cómo actúa $G_k$ sobre $V_k$.
Con respecto a la discusión de los estados propios de cantidad de movimiento y la siguiente derivación en el libro de Weinberg, $sigma$ es solo una etiqueta que denota cualquier grado de libertad que no sea cantidad de movimiento. Aunque puede identificarse con el giro, su naturaleza no es relevante para la discusión que nos ocupa.
Si te animas, tienes la libertad de dejar un tutorial acerca de qué le añadirías a este enunciado.