Posterior a consultar expertos en esta materia, programadores de varias ramas y maestros dimos con la solución al dilema y la dejamos plasmada en esta publicación.
Solución:
Los racionales se pueden mapear en los puntos de red $(n, m)$, que son un conjunto infinito de puntos aislados en el plano.
Los irracionales, por cualquiera de las formas estándar de mapear dos reales en uno (como comprimir los dígitos de un par de reales) llenan todo el plano (con objeciones sobre dos representaciones o puntos perdidos que se descartan).
Aquí hay una diferencia geométrica entre los racionales y los irracionales: la longitud de los racionales es igual a cero, mientras que la longitud de los irracionales es igual a infinito.
He aquí por qué los racionales tienen longitud cero. Comienza con una enumeración de los racionales: $$p_1,p_2,p_3,… $$
Elige tu pequeño número positivo favorito $epsilon>0$.
Para cada $k=1,2,3,…$, sea $I_k$ el intervalo con centro en $p_k$ de radio $fracepsilon2^k$. Ahora toma la unión de estos intervalos: $$X = I_1 cup I_2 cup I_3 cup cdots $$ La longitud total de $X$ no es más que la suma $$textLongitud(I_1) + textoLongitud(I_2) + textLongitud(I_3) + cdots = fracepsilon2 + fracepsilon2^2 + fracepsilon2 ^3 + cdots = epsilon $$ Pero los racionales están contenidos en $X$, por lo que la longitud total de los racionales es como mucho $epsilon$.
Pero puede repetir este argumento para valores cada vez más pequeños de $epsilon$, acercándose a cero.
Entonces la longitud total de los racionales es cero.
Pero la longitud total de los irracionales es infinito, porque es igual a la longitud total de toda la línea real (que es infinito) menos la longitud total de los racionales (que es cero).
Por lo tanto, hay más irracionales que racionales.
Ahora bien, este argumento puede sonar sospechoso, pero resulta ser completamente riguroso. Una vez que haya desarrollado la medida de Lebesgue de la línea real, sustituya la frase “medida de Lebesgue” por “longitud”, y tendrá una demostración.
Si hacemos una cuadrícula rectangular con coordenadas enteras, es posible asignar un ángulo único a cualquier número racional, usando la definición $tan phi=y/x$ para $phi in (-pi/2, pi /2)$.
Para racionales positivos sería algo como esto:
Es intuitivamente claro para mí que las líneas correspondientes a los números racionales no pueden llenar todo el espacio aquí (los espacios en blanco son especialmente notables alrededor de los números con pequeños denominadores/numeradores).
Esto puede considerarse una ilustración de la respuesta de Marty Cohen.
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