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Solución:
De la forma que has dado del operador $S_x$ y el vector base que ha proporcionado, puede calcular fácilmente la representación matricial del mismo. Ya que
$$ S_x = frachbar2(|flecha arribaranglelangleflecha abajo|+|flecha abajoranglelangleflecha arriba|) $$
y
$$|flecha arribarangle = left(beginmatriz1\0endmatrizright)implicalangleuparrow| = left(1;;;;0right)\ |flecha abajorangle = left(beginmatriz0\1endmatrizright)implicalangle flecha abajo| = izquierda(0;;;;1derecha) $$
usando la simple multiplicación de matrices se obtiene
$$ |flecha arribaánguloánguloflecha abajo| = left(beginmatriz1\0endmatrizright) left(0;;;;1right) = left(beginmatriz 0&1\ 0&0 endmatrizright)\ |downarrowranglelangleuparrow| = left(beginmatriz0\1endmatrizright) left(1;;;;0right) = left(beginmatriz 0&0\ 1&0 endmatrizright) $$
y para que la representación matricial del operador sea simplemente
$$ S_x = frachbar2left(beginmatriz 0&1\ 1&0 endmatrizright) $$
que es sólo una de las matrices de Pauli. Esto también da el resultado de los elementos de la matriz que diste que son correctos.
Bonificación de multiplicación de matrices
Me parece que muchas personas no entienden cómo hacer la multiplicación de matrices con vectores simples, así que quería dar una explicación a todos los que encontraron esta respuesta de una manera colorida. Evaluaré solo una de las dos matrices en la respuesta.
$$ |flecha arribaánguloánguloflecha abajo| = left(beginmatriz1\0endmatrizright) left(0;;;;1right) = left(beginmatriz 0&1\ 0&0 endmatrizright) $$
La multiplicación se realiza utilizando la multiplicación fila por columna. Primer paso, tomamos el elemento de la primera fila del primer vector y lo multiplicamos por el primer elemento de la primera columna del segundo vector.
$$|flecha arribaranglelangleflecha abajo| = left(beginmatrizcolorrojo1\0endmatrizright) left(colorrojo0;;;;1right ) = left(beginmatrix colorred0&1\ 0&0 endmatrixright) qquad textPrimera fila – primera columna$$
y así sucesivamente para los elementos restantes
$$|flecha arribaranglelangleflecha abajo| = left(beginmatrizcolorverde1\0endmatrizright) left(0;;;;colorverde1right ) = left(beginmatrix 0&colorgreen1\ 0&0 endmatrixright)qquadtextPrimera fila – segunda columna\ |uparrowranglelangle flecha abajo| = left(beginmatriz1\colorazul0endmatrizright) left(colorblue0;;;;1right ) = left(beginmatrix 0&1\ colorblue0&0 endmatrixright)qquadtextSegunda fila – primera columna\ |uparrowranglelangle flecha abajo| = left(beginmatriz1\colornaranja0endmatrizright) left(0;;;;colornaranja1right ) = left(beginmatriz 0&1\ 0&colornaranja0 endmatrizright)qquadtextSegunda fila – segunda columna $$
Espero que sea útil para alguien.
Sí, es posible. Su representación es correcta. Es fácil de verificar usando una forma explícita de $hatS_x$:
$$ beginpmatrix langleuparrow|hat S_x|uparrowrangle & langleuparrow|hat S_x|downarrowrangle\ langledownarrow|hat S_x|uparrowrangle & langledownarrow|hat S_x|downarrowrangleendpmatrix = frachbar2 beginpmatrix 0 & 1\ 1& 0 endpmatrix = frac hbar2 sigma_x $$
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