Solución:
Las transformadas de Laplace y Fourier son continuo transformadas (integrales) de funciones continuas.
La transformada de Laplace asigna una función $ f
Dado que la derivada $ dot f
Si establecemos la parte real de la variable compleja s a cero, $ sigma = 0 $, el resultado es la transformada de Fourier $ F (j omega) $ que es esencialmente la representación en el dominio de la frecuencia de $ f
La transformada Z es esencialmente una versión discreta de la transformada de Laplace y, por lo tanto, puede ser útil para resolver diferencia ecuaciones, la versión discreta de diferencial ecuaciones. La transformada Z mapea una secuencia $ f[n] $ a una función continua $ F (z) $ de la variable compleja $ z = re ^ {j Omega} $.
Si establecemos la magnitud de z a la unidad, $ r = 1 $, el resultado es la Transformada de Fourier de Tiempo Discreto (DTFT) $ F (j Omega) $ que es esencialmente la representación en el dominio de frecuencia de $ f[n]PS
Las transformadas de Laplace pueden considerarse un superconjunto de CTFT (transformadas de Fourier de tiempo continuo). Verá, en una ROC (Región de Convergencia) si las raíces de la función de transferencia se encuentran en el eje imaginario, es decir, para s = σ + jω, σ = 0, como se mencionó en comentarios anteriores, el problema de las transformadas de Laplace se reduce a Transformada de Fourier de tiempo continuo. Para retroceder un poco, sería bueno saber por qué las transformadas de Laplace evolucionaron en primer lugar cuando tuvimos las transformadas de Fourier. Verá, la convergencia de la función (señal) es una condición obligatoria para que exista una Transformada de Fourier (absolutamente sumable), pero también hay señales en el mundo físico donde no es posible tener tales señales convergentes. Pero, como es necesario analizarlos, los hacemos converger, multiplicándole un exponencial monótonamente decreciente e ^ σ, lo que los hace converger por su propia naturaleza. A este nuevo σ + jω se le da un nuevo nombre ‘s’, que a menudo sustituimos por ‘jω’ para la respuesta de señales sinusoidales de sistemas causales LTI (Linear Time-Invariant). En el plano s, si la ROC de una transformada de Laplace cubre el eje imaginario, entonces su Transformada de Fourier siempre existirá, ya que la señal convergerá. Son estas señales en el eje imaginario las que forman parte de las señales periódicas e ^ jω = cos ωt + j sin ωt (por Euler).
De la misma manera, la transformación z es una extensión de DTFT (Transformadas de Fourier de tiempo discreto) para, primero, hacerlas converger, segundo, para hacer nuestras vidas mucho más fáciles. Es fácil lidiar con az que con ae ^ jω (estableciendo r, radio del círculo ROC como untiy).
Además, es más probable que use una Transformada de Fourier que Laplace para señales que no son causales, porque las transformadas de Laplace hacen la vida mucho más fácil cuando se usan como transformadas unilaterales (unilaterales). También puede usarlos en ambos lados, el resultado será el mismo con alguna variación matemática.
Las transformadas de Fourier sirven para convertir / representar una función variable en el tiempo en el dominio de la frecuencia.
Una transformada de Laplace sirve para convertir / representar una función variable en el tiempo en el “dominio integral”
Las transformadas Z son muy similares a laplace pero son conversiones de intervalo de tiempo discretas, más cercanas para las implementaciones digitales.
Todos parecen iguales porque los métodos utilizados para convertir son muy similares.