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Solución:
En $mathbbR^n$ y $mathbbC^n$ podemos presentar una caracterización de todos los productos internos. Fija un producto interno $langle cdot , cdot rangle$, probablemente el euclidiano. Entonces, para cualquier matriz definida positiva $P$, $(x,y) = langle x,Py rangle$ también es un producto interno. Aquí la definición positiva se define en términos de $langle cdot , cdot rangle$.
Por el contrario, cualquier producto interno en un espacio de dimensión finita sobre $mathbbR$ o $mathbbC$ tiene tal representación. En particular, dado un producto interno $(cdot , cdot)$, tenemos $P_ij=( e_i,e_j )$, donde $ e_i _i=1^n$ es un sistema ortonormal con respecto a $langle cdot , cdot rangle$. Esto da la representación de $P$ en términos de las coordenadas ortonormales dadas por $langle cdot , cdot rangle$. Si el producto interno base es el euclidiano, entonces $ e_i _i=1^n$ puede tomarse como la base estándar, en cuyo caso esta es la representación habitual.
El hecho de que todo producto interior induzca una norma es casi una simple consecuencia de la definición de un producto interior. Específicamente, $| x| geq 0$ con $| x| = 0$ iff $x = 0$ está integrado completamente en la definición. $| hacha | = |a| | x |$ también es trivial, porque $| hacha | = (ax,ax) = a overlinea | x |^2$, luego $|a| = sqrta overlinea$. La parte difícil es la desigualdad del triángulo. Esto se demuestra típicamente con la desigualdad de Cauchy-Schwarz.
Sí, hay muchos tipos diferentes de productos internos. Considere el producto interno en $L^2$ dado por $langle f, g rangle = int f(x) overlineg(x) dx$.
Un producto interno $langle , rangle$ siempre define una norma mediante la fórmula $||x||^2 = langle x, x rangle$. Puede comprobar que se cumplen todas las condiciones de una norma. Sin embargo, lo contrario no es true, es decir, no toda norma da lugar a un producto interior. Las normas que satisfacen la ley del paralelogramo se pueden usar para definir productos internos a través de la identidad de polarización.
La fórmula de la suma ponderada para el producto interno, $$(x,y) = sum_i w_i x_i y_i,$$ captura el significado esencial del producto interno: en dimensiones finitas, todos los productos internos actúan como una suma ponderada en alguna base (también la idea se puede generalizar a infinitas dimensiones usando el teorema espectral, la suma básicamente se convierte en una integral)
¿Por qué? Bueno, por definición, los productos internos son formas bilineales definidas positivas simétricas, por lo que en dimensiones finitas siempre tienen una representación mediante una matriz definida positiva simétrica, $$(x,y) = x^TM y.$$
Tomando la descomposición en valores singulares $M = U Sigma U^T$ (o podría hacer la descomposición en valores propios ya que es una matriz SPD), eso da $$(x,y) = x^TU Sigma U^T y$$
Entonces, si $x_i,y_i$ son los componentes de $x,y$ en base a los vectores singulares de $M$, entonces puede escribir el producto interno en una forma de tipo de suma ponderada $$(x,y) = sum_i sigma_i x_i y_i,$$
donde $sigma_i$ son los valores singulares de la matriz diagonal $Sigma$ .
En términos de normas, las bolas unitarias para una norma inducida por un producto interno son elipsoides, con ejes dados por los vectores singulares y longitudes de eje determinadas por los valores singulares. Entonces, en un sentido más geométrico, existe una correspondencia directa entre elipsoides y productos internos.
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