Luego de indagar en diversos repositorios y foros de internet al terminar encontramos la solución que te mostramos más adelante.
Solución:
Tienes las siguientes inclusiones:
$$ textrmespacios vectoriales de productos internos subsetneq textrmespacios vectoriales normados subsetneq textrmespacios métricos subsetneq textrmespacios topológicos .$$
Yendo de izquierda a derecha en la cadena de inclusiones anterior, cada “categoría de espacios” tiene menos estructura. En los espacios de productos internos, puede usar el producto interno para hablar sobre la longitud y el ángulo de vectores (porque el producto interior induce una norma). En un espacio vectorial normado, solo puede hablar sobre la longitud de los vectores y usarlo para definir una métrica especial en su espacio que medirá la distancia entre dos vectores. En un espacio métrico, los elementos del espacio ni siquiera tienen que ser vectores (e incluso si lo son, la métrica en sí misma no tiene que provenir de una norma), pero aún puedes hablar sobre la distancia entre dos puntos en el espacio, bolas abiertas, etc. En un espacio topológico, no se puede hablar de la distancia entre dos puntos pero se puede hablar de vecindades abiertas.
Debido a esta inclusión, todo lo que funciona para espacios topológicos generales funcionará en particular para todos los demás espacios, pero hay algunas cosas que puede hacer en (digamos) espacios vectoriales normados que no tienen sentido en un espacio topológico general. Por ejemplo, si tiene una función $f colon V rightarrow mathbbR$ en un espacio vectorial normado, puede definir la derivada direccional de $f$ en $p in V$ en la dirección $v en V$ por el límite
$$ lim_t to 0 fracf(p + tv) – f(p)t. $$
En la definición, está utilizando el hecho de que puede agregar el vector $tv$ al punto $p$. Si intenta imitar esta definición en un espacio topológico, dado que el conjunto en sí no tiene la estructura de un espacio vectorial, no puede agregar dos elementos, por lo que esta definición no tiene sentido. Es por eso que durante tus estudios a veces restringes tu atención a una categoría más pequeña de espacios que tienen más estructura para que puedas hacer más cosas en ellos.
Puede discutir las nociones de continuidad, compacidad solo en la categoría (contexto) de espacios topológicos (pero por razones de simplicidad, a menudo se hace al comienzo de los estudios en la categoría de espacios métricos). Sin embargo, una vez que desee analizar la diferenciabilidad, entonces (en primera aproximación, antes de pasar a las variedades) debe restringir su categoría y trabajar con espacios vectoriales normados. Si también desea analizar el ángulo que forman dos curvas, deberá restringir aún más su categoría y trabajar con espacios vectoriales de productos internos en los que la noción de ángulo tenga sentido, etc.
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Cada espacio de producto interno es (se puede hacer naturalmente) un espacio normado definiendo $$|x|:=sqrtlangle x, xrangle $$ (siguiendo el ejemplo principal $Bbb R^n$ )
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Todo espacio normado es, por definición, un espacio lineal, y al mismo tiempo puede estar naturalmente equipado con una métrica: $$d(x, y) :=|yx|$$
Puede verificar que los axiomas respectivos se cumplan.
Los espacios métricos proporcionan un marco general para continuidad y continuidad uniforme.
podemos definir diferenciación en espacios normados.
Al notar que la clase de funciones valiosas reales o complejas (agradables en cierto modo) forman un espacio lineal, podemos investigar varias normas para ellas, incluso productos internos, que es el estudio de análisis funcional.
Un espacio interior del producto $left(V,langlecdot,cdotrangleright) $ también es un espacio vectorial normado $left(V,lVertcdotrVertright) $, tomando $$ lVert vrVert colon= sqrtlangle v,vrangle qquadforall vin V$$
A espacio vectorial normado $left(V,lVertcdotrVertright) $ también es un espacio vectorial métrico $(V,d) $, tomando $$ d(x,y)colon=lVert xyrVert qquadfor all x,yin V$$
En resumen $$ textProducto internoimplica textNormaimplica textMétrica $$
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