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Solución:
En primer lugar, ¿está familiarizado con el teorema del binomio? Es la razón por la cual, por ejemplo, la fila $14641$ parece $(1,1)^4 = 1,4641$ — simplemente conecte $x = 1, y= 0.1$ dentro $(x+y)^n$.
Habiendo dicho eso, como señaló correctamente, para las filas posteriores necesita “agregar ceros” para espaciar básicamente los números. Esto es equivalente a enchufar $x= 1, y = 0.01$ dentro $(x+y)^n$ por fila $5$.
Ahora también sabes que $lim_n a infty (1 + 1/n)^n = e$; sin embargo, esto depende fundamentalmente de la $y = 1/n$ parte de la suma cae como $1/n$. Si cae más rápido o más lento, el límite será menor o mayor que $e$. Entonces, en su esquema de “agregar ceros”, todo depende de qué tan rápido tenga que agregar ceros.
Si su regla es siempre agregar suficientes ceros para que los términos sucesivos en una fila no se “superpongan”, entonces incluso en el límite, el primer dígito (el único dígito antes del punto decimal) siempre es $1$, que es el borde izquierdo del triángulo. Esto descarta que el límite sea $e = 2.718…$ que tiene un dígito inicial $2$. En otras palabras, siguiendo su regla, tendría que agregar ceros tan rápido (en función del número de fila $n$) que el $y$ término en la suma cae más rápido que $1/n$.
De hecho en tu caso $y = 10^-D$ dónde $D =$ no. de dígitos en la representación decimal del mayor coeficiente de la fila, es decir, el coeficiente central $n elegir lpiso n/2 rpiso$. Se sabe que este coeficiente crece exponencialmente rápido, es decir, su $y$ caería exponencialmente rápido. Como un hecho adicional, su límite es en realidad $1$ porque para realmente grande $n$tendrías que sumar tantos ceros que el primer término (que es $n$) haría que el número decimal se viera como $1.00000n…$
Una de las definiciones de $e$ es el limite
$$lim_ntoinftyleft(1+frac1nright)^n.$$
Por lo tanto con $n=10^m$ obtienes mejores y mejores aproximaciones
$$(1+10^-m)^10^m.$$
Por ejemplo
$$(1+0.0001)^10000=2.718146cdots$$ donde los tres primeros decimales son exactos.
Por otro lado, este número es
$$binom100000+binom1000010,0001+binom1000020,00000001+cdotsbinom100001000010^-40000$$$$=1+1.0000+0.49995000+0.166616670000+cdots$$
De hecho, tiene la suma de las entradas del triángulo de Pascal con cambios, pero los cambios son insuficientes para separar los valores y hay superposiciones.
Comparar con
$$(1+0.00000000001)^10000=1.00000010000000499950016661667cdots$$
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