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Solución:
(Mi respuesta terminó siendo demasiado larga para un comentario).
Hola. Acabo de terminar mi primer semestre como estudiante de posgrado enfocándome mucho en geometría y topología en la Universidad Estatal de Colorado. No sabía nada de geometría algebraica hasta la primavera pasada y he… crecido desde entonces jaja.
Dada su experiencia, probablemente apreciaría la experiencia de Rick Miranda. Curvas algebraicas y superficies de Riemann. Se realiza casi en su totalidad en el contexto de un análisis complejo, pero todas las cosas que desea true en el contexto de la geometría algebraica son true si simplemente reemplaza “holomórfico” y “meromórfico” con “regular” y “racional”. (De hecho, el Dr. Miranda anota esto en su sección “Gavillas algebraicas” hacia el final.) Obtienes una gran introducción a las curvas, divisores, poleas, paquetes de líneas, etc., todo con ejemplos usando la esfera de Riemann (línea proyectiva compleja). ), toros y una curva general compleja proyectiva (o afín). Tu también podría podrá encontrar este libro en formato PDF si sabe cómo buscar bien en Google. Y no necesita toda la profundidad del álgebra conmutativa para entender este libro, porque deja todo en su mayoría analítico complejo (de una manera divertida) y realmente solo se basa en una pequeña topología diferencial en algunos puntos que quizás no tenga. Si elige ese libro, no dude en ponerse en contacto conmigo si desea una discusión sobre los conceptos o un poco de ayuda con algunos de los ejercicios. Estoy terminando mi primera lectura completa de ese durante las vacaciones de invierno y he estado resolviendo el problema en ese libro durante un par de años. (Creo que mi información de contacto debería estar en mi Google Drive. De lo contrario, puede pedírmela aquí o probablemente encontrarla en la lista de estudiantes graduados de CSU).
Después de una revisión final del resto de mis recomendaciones, realmente colocaría el libro del Dr. Miranda en la parte superior para usted. Ese libro te hace sentir como si estuvieras haciendo un análisis complejo con alguna topología diferencial, pero te introduce en la geometría algebraica hasta que te das cuenta de que eso es lo que estabas haciendo todo el tiempo. Y, de hecho, hay un documento llamado Geometría algebraica y Geometría analítica -GAGA porque es francés- que establece que básicamente estos dos son uno en lo mismo; la geometría analítica compleja y la geometría algebraica compleja realmente no son diferentes. (Cf. El teorema de Chow y el Dr. Miranda también menciona este artículo). Creo que este libro sería ideal para sus antecedentes.
Es una buena idea tener algo de intuición en Geometría Algebraica. antes de tratando de entender todo el álgebra conmutativa pura. De lo contrario, solo estás haciendo álgebra pura… que, como… ¿para qué molestarse? 😛 Y para ese propósito, también recomendaría leer algunos de los libros de Dieudonne. El desarrollo histórico de la geometría algebraica. Obtenga una idea de los problemas que la gente estaba tratando de resolver al desarrollar toda esta teoría y una apreciación (aún mejor) de por qué Riemann era tan rudo. Diuedonne, si no lo saben, formó parte del grupo Bourbaki y fue (si no recuerdo mal) el escriba del grupo durante algún tiempo. Estaba presente cuando todos los emocionantes desarrollos en alg. geo. estaban sucediendo y sabía lo suficiente de la historia para hacer una crónica de esos desarrollos en contexto.
Sin embargo, si desea hacer algo de álgebra antes que nada, consulte la parte/capítulo/sección de geometría algebraica de Dummit y Foote (como sea que lo llamen) que analiza el Teorema de la base de Hilbert y otros resultados muy básicos que usamos (d ) en una introducción a la geometría algebraica clásica. clase. También aprende lo suficiente sobre la localización (especialmente la correspondencia entre los ideales primos en una localización y los ideales primos en su anillo original).
Otros libros populares de geometría algebraica incluyen las Notas de Milne (simplemente busque en Google las palabras “Geometría algebraica de Milne”, disponible gratuitamente en línea por el autor), obviamente Hartshorne (aunque entiendo que es un poco difícil de leer), y tal vez algo de Harris y/o Cosas de Eisenbud (por ejemplo, Geometría de esquemas que puede encontrar en línea). Es posible que pueda encontrar la de Shafarevich Geometría Algebraica Básica en línea también, y ese tiene muchos ejemplos. Tú De Verdad quiero muchos ejemplos al estudiar geometría algebraica.
Un libro con algo pesado teoría de categorías y básicamente toda la geometría algebraica del mundo, podrías ver la teoría de Vakil El Mar Creciente. Él publica estas (dudo en llamarlas) notas en línea cada año más o menos después de las ediciones, y este libro es solo una gran cantidad de alg. geo. con una base de 100 páginas en teoría de categorías (y algo de álgebra conmutativa en términos de teoría de categorías) como base para haces y esquemas. A lo largo del camino, Ravi Vakil brinda excelentes imágenes de lo que estamos tratando de describir con Spec(-) bajo la topología Zariski y el esquema afín. Honestamente, solo he leído unas 150 páginas de ese libro después de unos 4 o 5 meses de tiempo con él, debido a su densidad y minuciosidad. Hay ejemplos en todas partes, y realmente deberías hacer todos los ejemplos que puedas. La única forma que he encontrado para pasar por alg. geo. es por ejemplos; de lo contrario, estás perdido en un mar de sinsentido abstracto.
Una nota que no se puede enfatizar lo suficiente: HACER PROBLEMAS
Haz problemas mientras estás despierto. Haz problemas mientras estás medio despierto. Haz problemas en el tren. Hacer problemas en el autobús. Haz problemas mientras duermes. Haz problemas en el gimnasio. Haga problemas literalmente todo el tiempo, todo el día, todos los días que pueda. Y si tiene problemas con algunos problemas, ¡pregunte a la comunidad! ¡Han sido geniales mientras aprendo geometría algebraica, y también estaré disponible para publicar cuando pueda! 🙂
Otro libro que algunos de mis compañeros encontraron útil mientras avanzaban penosamente a través de nuestra primera alg. geo. la clase de este otoño es de Karen Smith Una invitación a la geometría algebraica.
Recomiendo los libros “Ideales, variedades y algoritmos. Una introducción a la geometría algebraica computacional y al álgebra conmutativa. Autores: Cox, David A, Little, John, Oshea, Donal” y
“Curso de Álgebra Computacional Conmutativa y Geometría Algebraica y ejercicios con soluciones. Autor: I. Yengui”.
Valoraciones y reseñas
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