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Raíces de polinomios en la extensión del anillo

Después de buscar en diversos repositorios y páginas webs de internet al concluir hallamos la respuesta que te compartimos más adelante.

Solución:

En el caso no conmutativo, su condición para una “raíz” se llama “raíz derecha”. Recuerdo que TY Lam trabajó un poco con esta condición (puede buscar en sus documentos o buscar en su libro “Primer curso sobre anillos no conmutativos”).

es facil de conseguir conmutativo suena donde su condición falla (porque aunque $R[x]f(x)$ es un ideal en $R[x]$, ¡todavía se cruza con $R$)! Por ejemplo, sea $F$ un anillo distinto de cero con identidad y considere el anillo

$$R=F[a : a^2=0].$$

El polinomio $f(x)=1+axin R[x]$ no puede tener ninguna raíz en ningún anillo de extensión de $R$, porque esto obligaría a $a$ a ser una unidad en el anillo de extensión, pero también nilpotente.


Editado para agregar: he estado pensando en la nueva pregunta y los polinomios mónicos. Sin pérdida de generalidad, piense en $R$ como contenido en $S$. Si se permite que $R$ tenga una unidad diferente a $S$, creo que la respuesta es positiva. Cuando $R$ se ve obligado a ser un subanillo unitario de $S$ (es decir, que contiene la misma unidad), la respuesta se vuelve un poco más difícil, como describiré a continuación.

En el último caso, toma $S:=Rcoprod_mathbbZmathbbZ[t]/(f(t))$. Nuestro objetivo es mostrar que $R$ es un subanillo unitario de $S$, y hemos terminado. Podemos hacerlo escribiendo elementos de $S$ en forma reducida.

Para explicar la motivación, tome $f$ como un polinomio cuadrático por un momento. Di $f(x)=x^2+bx+c$ con $b,cin R$. Ignorando la notación de “barra” (dado que $S$ es un anillo de factores) por conveniencia, tenemos la relación

$$t^2mapsto -bt-c.$$

Podemos reducir $t^3$ de dos maneras, y eso nos da una nueva relación

$$tbtmapsto -bt-tc+ct-bc.$$

Ahora podemos reducir $t^2bt$, $tbt^2$ y $tbtbt$ de dos maneras (cada una), y obtenemos otra relación que comienza con $tb^2tmapstocdots$. Siempre que $b^nnotin mathbbZ$ para cada $ngeq 1$, creo que esto demuestra que su pregunta tiene una respuesta positiva (para cuadráticas, y esto puede extenderse).

Cuando $b^nin mathbbZ$ las cosas se vuelven más complicadas, pero el problema aún puede ser manejable.

Cuando se permite que $R$ tenga una identidad diferente de $S$, existe una construcción aún más sencilla.

Encontré una construcción muy simple y demostrativa de la extensión del anillo, que provino de la generalización no conmutativa del Teorema de Hamilton-Caley.

Sea $R$ un anillo y $f(x) = x^m-sumlimits_j=0^m-1f_jx^jin R[x]$ sea un polinomio mónico. Identificamos el anillo $R$ con un subanillo $tildeR = \mathrmdiag(r,r,ldots,r): rin R\subset M_m(R)$.

Entonces $f(x)$ tiene una raíz de la forma $$ alpha=left(begin{arrayllllll 0& e& 0&ldots& 0& 0 \ 0& 0& e&ldots& 0& 0 \ . & . & . & . & .& . \ 0& 0&0&ldots& 0& e \ f_0& f_1& f_2&ldots& f_m-2& f_m-1 \ endarray right) $$ Eso es $alpha^m-sumlimits_j=0^m-1f_jalpha^j = 0in M_m(R)$. Pero notamos que en general: $f(alpha^T)neq 0$.

Consulte el artículo para obtener una prueba de la generalización no conmutativa del teorema de Hamilton-Caley.

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