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Radio de la circunferencia circunscrita a un triángulo isósceles

Ten en cuenta que en las ciencias un problema casi siempre tiene varias resoluciones, así que compartiremos lo más óptimo y eficiente.

Solución:

Otro enfoque sencillo. Dejar $x=AC=BC$. Después

$$2p=AC+BC+2AH\=2x+2xcosalpha$$

y

$$R=frac 12 CD=frac 12 fracBC sin alpha = fracx2 sin alpha$$

Ahora puedes completar la solución con una simple sustitución.

Sugerencia: use la siguiente fórmula:

$$R=fracp4cosleft(fracalpha2right)cosleft(fracbeta2right)cosleft( fracgamma2right)$$

Dónde $alfa$, $beta$ y $gamma$ son ángulos en los vértices A, B y C respectivamente. $alfa=beta$ por lo tanto tenemos:

$$R=fracp4cos^2left(fracalpha2right)cosleft(fracgamma2right)$$

Y también:

$$2alfa+gamma=pi$$

$$implicafracgamma2=fracpi2-fracalpha4$$

Finalmente:

$$R=fracp4cos^2left(fracalpha2right)sinleft(fracalpha4right)$$

el diametro es $$CD = 2R = sqrtBD^2 + BC^2$$ por el teorema de Pitágoras, ya que $ángulo CBD$ está inscrito en un semicírculo, por lo tanto es un ángulo recto.

Ahora usa las propiedades trigonométricas para deducir que $$BH = BD sen alpha,$$ y $$ BH = BC cos alpha.$$ También tenemos $$BH + BC = p,$$ porque esto es la mitad del perímetro de $triángulo ABC$. Ahora todo lo que queda es eliminar $BH$, $BD$y $BC$ de estas cuatro ecuaciones.

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