Ten en cuenta que en las ciencias un problema casi siempre tiene varias resoluciones, así que compartiremos lo más óptimo y eficiente.
Solución:
Otro enfoque sencillo. Dejar $x=AC=BC$. Después
$$2p=AC+BC+2AH\=2x+2xcosalpha$$
y
$$R=frac 12 CD=frac 12 fracBC sin alpha = fracx2 sin alpha$$
Ahora puedes completar la solución con una simple sustitución.
Sugerencia: use la siguiente fórmula:
$$R=fracp4cosleft(fracalpha2right)cosleft(fracbeta2right)cosleft( fracgamma2right)$$
Dónde $alfa$, $beta$ y $gamma$ son ángulos en los vértices A, B y C respectivamente. $alfa=beta$ por lo tanto tenemos:
$$R=fracp4cos^2left(fracalpha2right)cosleft(fracgamma2right)$$
Y también:
$$2alfa+gamma=pi$$
$$implicafracgamma2=fracpi2-fracalpha4$$
Finalmente:
$$R=fracp4cos^2left(fracalpha2right)sinleft(fracalpha4right)$$
el diametro es $$CD = 2R = sqrtBD^2 + BC^2$$ por el teorema de Pitágoras, ya que $ángulo CBD$ está inscrito en un semicírculo, por lo tanto es un ángulo recto.
Ahora usa las propiedades trigonométricas para deducir que $$BH = BD sen alpha,$$ y $$ BH = BC cos alpha.$$ También tenemos $$BH + BC = p,$$ porque esto es la mitad del perímetro de $triángulo ABC$. Ahora todo lo que queda es eliminar $BH$, $BD$y $BC$ de estas cuatro ecuaciones.
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