Solución:
Solución 1:
La respuesta aceptada tiene buenas imágenes, pero tiene un par de pequeñas inexactitudes fácticas en el último párrafo. Aquí hay un poco más de matemáticas para ilustrar lo que está sucediendo.
Los orbitales atómicos, que son funciones de onda de un electrón, se dividen en dos componentes: las funciones de onda radial y angular.
$$ psi_ nlm (r, theta, phi) = R_ nl (r) Y_ lm ( theta, phi) $$
así llamados porque solo tienen radiales ($ r $) y angular ($ theta $,$ phi $) dependencias respectivamente. Si cualquiera de estos dos componentes es cero, la función de onda total es cero y la densidad de probabilidad allí (dada por $ psi ^ * psi $) también es cero.
Un nodo radial ocurre cuando la función de onda radial es igual a cero. Dado que la función de onda radial solo depende de $ r $, esto significa que cada nodo radial corresponde a un valor particular de $ r $. (La función de onda radial puede ser cero cuando $ r = 0 $ o $ r a infty $, pero estos no se cuentan como nodos radiales).
De manera análoga, un nodo angular es simplemente una región donde la función de onda angular es cero. * En el caso de los orbitales p, este es un plano. Sin embargo, los nodos angulares no necesariamente tienen que ser aviones, como veremos más adelante.
El número de nodos radiales y angulares viene dictado por las formas de las funciones de onda, que se obtienen resolviendo la ecuación de Schrodinger. Para un orbital dado con números cuánticos $ (n, l) $, existen $ nl-1 $ nodos radiales y $ l $ nodos angulares, como se describió anteriormente.
Un ejemplo
Echemos un vistazo a una de las funciones de onda 3d del hidrógeno con $ (n, l) = (3,2) $. $ a_0 $ es el radio de Bohr del átomo de hidrógeno. Esperaríamos $ 3-2-1 = 0 $ nodos radiales y $ 2 $ nodos angulares.
$$ mathrm 3d _ z ^ 2 = underbrace left[frac481sqrt30a_0^-3/2left(fracra_0right)^2 expleft(-fracr3a_0right)right] _ text radial: R_ 32 underbrace left[sqrtfrac516pi(3cos^2theta – 1)right] _ text angular: Y_ 20 $$
Todos los términos individuales en la función de onda radial nunca pueden ser cero (excluyendo los casos de $ r = 0 $ o $ r a infty $ como describí anteriormente). Por tanto, este orbital no tiene nódulos radiales. Sorpresa sorpresa.
Los nodos angulares son más interesantes. La función de onda angular desaparece cuando $ 3 cos ^ 2 theta – 1 = 0 $. Ya que $ theta $ toma valores entre $ 0 ^ circ $ y $ 180 ^ circ $, esto corresponde a las dos soluciones $ theta = 54.7 ^ circ, 125.3 ^ circ $. Ambas soluciones son nodos angulares. Así es como se ven:
Las líneas punteadas son los nodos angulares. No son aviones, sino conos. Corresponden a un valor particular de $ theta $, que en coordenadas esféricas es el ángulo formado con el positivo $ z $-eje; He marcado estos ángulos en el diagrama.
Si puede obtener las formas de las funciones de onda, entonces es fácil encontrar los nodos radiales. Mark Winter en Sheffield tiene un gran sitio web para esto; simplemente haga clic en el orbital que desee a la izquierda, luego “Ecuaciones” cerca de la esquina superior derecha.
- Si nos atenemos a orbitales atómicos complejos, que son funciones propias simultáneas de $ H $, $ L ^ 2 $ y $ L_z $, luego la dependencia de $ phi $ es siempre de la forma $ e ^ pm im phi $, que nunca puede ser cero, por lo que los nodos angulares nunca surgen debido a $ phi $-dependencia. Sin embargo, los nodos radiales y angulares se discuten más comúnmente en el contexto de orbitales atómicos reales, obtenidos por combinación lineal de los armónicos esféricos. Estos tienen nodos angulares que dependen de ambos $ theta $ y $ phi $, pero a menudo son mucho más simples de expresar en términos de coordenadas cartesianas $ (x, y, z) $ (ejemplos obvios son el $ mathrm 2p _x $ y $ mathrm 2p _y $ orbitales). los $ mathrm 3d _ z ^ 2 $ orbital es una excepción que se eligió deliberadamente como ejemplo porque sus nodos angulares no son planos.
Solución 2:
1. Cómo obtener el número y el tipo de nodos de un orbital
Como dijiste, los nodos son puntos de densidad electrónica cero. A partir del número cuántico principal $ n $ y el número cuántico azimutal $ ell $, puede derivar el número de nodos y cuántos de ellos son radial y angular.
$$ text número de nodos = n-1 $$
$$ text nodos angulares = ell $$
$$ text nodos radiales = ( text número de nodos) – ( text nodos angulares) $$
Entonces, cada tipo de orbital ($ s, p, d $, etc.) tiene su propio número fijo único de nodos angulares, y luego, a medida que aumenta $ n $, agrega nodos radiales.
Ejemplos: primer caparazón
Para el primer shell, $ n = 1 $, lo que significa que el número de nodos será 0.
Ejemplos: segundo caparazón
Para la segunda capa, $ n = 2 $, que produce 1 nodo.
- Para el orbital $ 2s $, $ ell = 0 $, lo que significa que el nodo será radial
- Para el orbital $ 2p $, $ ell = 1 $, lo que significa que el nodo será angular
Ejemplos: tercer caparazón
La tercera capa, $ n = 3 $, produce $ 3-1 = 2 $ nodos.
- El orbital $ 3s $ todavía tiene $ ell = 0 $, lo que significa que no hay nodos angulares y, por lo tanto, los dos nodos deben ser radiales.
- El orbital $ 3p $ todavía tiene un nodo angular, lo que significa que también habrá un nodo radial
- El orbital $ 3d $ tiene dos nodos angulares y, por lo tanto, no tiene nodos radiales.
2. La diferencia entre radial y angular nodos
Los nodos radiales son nodos dentro de los lóbulos orbitales hasta donde puedo entender. Es más fácil de entender mirando los $ s $ -orbitales, que solo pueden tener nodos radiales.
Entonces, para ver qué es un nodo angular, examinemos el $ 2p $ -orbital, un orbital que tiene un nodo y ese nodo es angular.
Vemos que los nodos angulares no son recuentos internos de probabilidad de 0 electrones, sino que es un plano que pasa por el orbital. Para el orbital $ 2p_ text z $ -, el nodo angular es el plano atravesado por los ejes x e y. Para el orbital $ 2p_ text y $ -, el nodo angular es el plano atravesado por los ejes zy x.
Solución 3:
Si hace vibrar un trozo de cuerda, es bastante fácil mostrar que aparecerán nodos, y cuando se producen ondas estacionarias, los nodos se fijan en el espacio y el tiempo. Entre los nodos, la cuerda oscila hacia arriba y hacia abajo. El armónico n $ ^ th $ tiene $ n-1 $ nodos. Cuantos más nodos haya, mayor será la energía necesaria para producirlos. En una membrana rectangular vibrante se producen líneas nodales y en un disco vibrante anillos nodales. Las líneas nodales, donde la amplitud es cero, separan los modos vibracionales normales.
Lo mismo ocurre con los átomos y las moléculas. Los nodos son puntos donde la función de onda cruza cero y su amplitud es cero. Donde la función de onda se acerca gradualmente a cero (en el origen o en el infinito) no se consideran nodos. Los nodos aparecen naturalmente en todas las soluciones de la ecuación de Schrodinger, incluso para sistemas simples como una partícula en una caja. No todas las funciones de onda tienen nodos, la de menor energía no los tiene (por ejemplo, el orbital S en átomos, vibración de punto cero y rotación cero en moléculas, MO más bajo en una molécula). Cuanto mayor sea el número de nodos que tenga una función de onda, mayor será el valor propio de energía. @Brian ha dado algunas imágenes de funciones de onda y nodos en la respuesta.
No parece haber un significado especial para un nodo, surge puramente de la solución de la ecuación de Schrodinger y es una consecuencia de las soluciones (por lo tanto, condiciones de frontera) que elegimos para obtener la cuantificación. Sin nodos, es difícil ver cómo se podrían construir las funciones de onda que describen diferentes valores propios de energía.
Ampliando brevemente la pregunta para incluir la formación de vínculos. Al formar enlaces a partir de orbitales atómicos, la paridad de la función de onda es importante. Al intercambiar las coordenadas, es decir, el operador de inversión, la paridad impar (ungerade, u) produce -1 en sí misma y la paridad par (gerade, g) deja el orbital indistinguible. El nodo en un pag orbital hace que tenga una paridad impar, ya que s incluso orbital. La simetría (paridad) determina si dos orbitales pueden combinarse para formar un orbital de enlace o uno anti-enlace, por ejemplo, $ sigma $ o $ sigma ^ * $ o $ pi $ o $ pi ^ * $. Los orbitales anti-enlace siempre tienen nodos.
Los planos nodales también son importantes en la adición de Diels Alder y reacciones similares, ya que aquí la simetría es importante. En las transiciones espectroscópicas en moléculas, la estructura nodal de los orbitales moleculares determina, a través de la simetría, qué transiciones están permitidas o prohibidas.