Recuerda que en la informática un error casi siempre tiene diferentes resoluciones, por lo tanto aquí te compartiremos lo más óptimo y eficiente.
Solución:
Si tiene un sistema mecánico con $N$ partículas, técnicamente necesitaría $n = 3N$ coordenadas para describirlo completamente.
Pero a menudo es posible expresar una coordenada en términos de otras: por ejemplo, si dos puntos están conectados por una varilla rígida, su distancia relativa no varía. Tal condición del sistema se puede expresar como una ecuación que involucra solo las coordenadas espaciales $q_i$ del sistema y el tiempo $t$, pero no en momentos $p_i$ o mayores derivados wrt time. Estos se llaman restricciones holonómicas: $$f(q_i, t) = 0.$$ Lo bueno de ellos es que reducen los grados de libertad del sistema. Si tiene $s$ restricciones, termina con $n’ = 3N-s < n$ grados de libertad.
Un ejemplo de una restricción holonómica se puede ver en un péndulo matemático. El punto de balanceo del péndulo tiene dos grados de libertad ($x$ y $y$). La longitud $l$ del péndulo es constante, por lo que podemos escribir la restricción como $$x^2 + y^2 – l^2 = 0.$$ Esta es una ecuación que solo depende de las coordenadas. Además, no depende explícitamente del tiempo y, por lo tanto, también es un escleronoma restricción. Con esta restricción, el número de grados de libertad ahora es 1.
Restricciones no holonómicas son básicamente todos los demás casos: cuando las restricciones no se puede escribir como una ecuación entre coordenadas (pero a menudo como una desigualdad).
Un ejemplo de un sistema con restricciones no holonómicas es una partícula atrapada en una capa esférica. En tres dimensiones espaciales, la partícula tiene entonces 3 grados de libertad. La restricción dice que la distancia de la partícula desde el centro de la esfera es siempre menor que $R$: $$sqrtx^2 + y^2 + z^2 < R.$$ No podemos reescribir esto como una igualdad, por lo que esta es una restricción escleronómica no holonómica.
La pregunta ha sido bien respondida varias veces. Solo agregaré un poco de contexto geométrico.
En geometría, el grupo de holonomía de una conexión es el conjunto de transformaciones que un objeto puede experimentar cuando es transportado en paralelo en un bucle. Muchas restricciones se pueden expresar en términos de obligar a que algo sea transportado en paralelo. Si los grupos de holonomía asociados no son triviales, entonces la restricción no puede ser holonómica, porque la orientación del objeto dependerá del bucle atravesado, no solo del estado actual. Entonces, de manera bastante confusa, obtienes restricciones holonómicas de grupos de holonomía triviales.
Aquí hay unos ejemplos:
- Supongamos que una moneda rueda sin deslizarse en 2D. Esta es una restricción holonómica, porque si haces rodar la moneda hacia adelante y hacia atrás hasta donde empezaste, terminará con la misma orientación. Formalmente, esto se describe mediante el transporte paralelo en un $U(1)$ agruparse $matemáticasR$donde el $U(1)$ describe la orientación de la moneda.
- Supongamos que una pelota rueda sin deslizarse en 3D. Esta no es una restricción holonómica, porque si mueves la pelota, puedes hacer que regrese a donde comenzó, volteada. (¡Pruébelo!) Formalmente, esto se describe mediante holonomía no trivial en un $SO(3)$ agruparse $matemáticasR^2$donde el $SO(3)$ describe la orientación de la pelota.
- Supongamos que un gato flota en el espacio, con un momento angular total cero. Esta no es una restricción holonómica, porque es posible que el gato se mueva un poco y luego vuelva a su forma original pero se dé la vuelta. Formalmente, esto se describe mediante holonomía no trivial en un $SO(3)$ agruparse $S$dónde $S$ es el espacio de formas del gato.
Para completar: también existe una noción de restricciones semi-holonómicas.
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Recuerda que un restricción holonómica$^1$$$f(q,t)~=~0tagH$$
solo depende de las coordenadas generalizadas$^2$$q^j$ y tiempo $t$pero no las velocidades generalizadas $puntoq^j$. -
A restricción no holonómica es, como era de esperar, una restricción que es no holonómico
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A restricción semi-holonómica$$a(q,dotq,t)~equiv~ sum_j=1^na_j(q,t)~dotq^j+a_0(q,t)~=~ 0etiquetaS1$$
es una restricción no holonómica que depende afínmente de las velocidades generalizadas $puntoq^j$. ecuación (S1) se puede escribir de manera equivalente a través de una forma $$omega~equiv~sum_j=1^na_j(q,t)~mathrmdq^j+a_0(q,t)mathrmdt~=~0. etiquetaS2$$ -
La restricción (S2) es equivalente a la restricción holonómica (H) si y solo si existe un factor integrante $lambda(q,t)neq 0$ y una forma $eta$ tal que
$$ lambdaomega+ feta~equiv~mathrmdf . tagyo$$
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$^1$ Hay varias condiciones de regularidad técnica implícitamente asumidas, cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.
$^2$ En esta respuesta, también llamamos a las variables de posición de las partículas puntuales originales $bf r_1, ldots, bf r_N$ para que las coordenadas generalizadas sean lo más generales posible.
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