Posteriormente a investigar con expertos en este tema, programadores de diversas ramas y profesores dimos con la solución a la interrogande y la plasmamos en esta publicación.
Solución:
Respuesta corta: la semiderivada $H$ es una especie de operador (no está definido únicamente por esta propiedad) tal que $H(Hf) = f’$.
Respuesta larga: podemos pensar en la derivada como un operador lineal $D:X to X$, donde $X$ es un espacio conveniente (digamos, suave) de funciones. La derivada de $n$ésimo orden es entonces, por definición, la composición de $n$ veces $D^n = Dcirc cdots circ D:X to X$. Claramente $D^n D^m = D^n+m$. Aquí hemos restringido el índice $n$ a un número entero, pero ¿y si permitimos que sea un número real? Es decir, queremos una familia de operadores $D_t$, con $tgeq 0$ real, tal que
- $D_t$ se comporta bien con respecto a $t$;
- $D_1$ es solo la derivada ordinaria $D$;
- $D_t D_s = D_t + s$.
(No voy a hacer el primer punto más preciso aquí, pero idealmente queremos algo análogo a la continuidad o la suavidad en $t$. No he definido qué es exactamente el espacio $X$ o cómo se ve su geometría, así que voy a evadir el punto por ahora). Así, por ejemplo, obtenemos un operador $D_1/2$ con $D_1/2 D_1/2 f = D_1 f = f ‘$ para $f$ adecuado.
¿De dónde obtenemos dicho operador $D_t$? Un lugar para comenzar es la fórmula integral de Cauchy: beginalign* f^(-n)(x) = frac1(n-1)!int_0^x (x – xi) ^n-1 f(xi), dxi, endalign* donde $f^(-n)(x)$ denota la antiderivada de $f$, todo normalizado para tener $ f^(-n)(0)$ para $n > 0$. El factorial anterior solo se define para enteros positivos $n$, pero podemos usar la relación $Gamma(n) = (n – 1)!$ para definir algo similar para $tgeq 0$ arbitrario: beginalign * I_t f(x) = frac1Gamma(t)int_0^x (x – xi)^t-1 f(xi), dxi, end align* Claramente, $I_t f(x)$ es solo $f^(-t)$ si $t$ es un número entero positivo, y podemos demostrar con un poco de trabajo que $I_t(I_s f) = I_ t+s f$.
Ahora, eso es para una antiderivada. Para llegar a la derivada $D_t$ para $t$ no enteros, podemos usar la definición anterior para deshacernos de la parte fraccionaria. Como $D(If) = f$, podemos definir beginalign* D_t f= fracd^ndx^n left(I_tau fright) endalign* para $t = n – tau$ con $n$ un entero y $tauin[01)$Sinembargoestanoeslaúnicaconstrucciónposibledeunaderivadafraccionaria$D_t$[01)$Thisisnottheonlypossibleconstructionofafractionalderivative$D_t$though
La media derivada en sí misma no tiene mucha interpretación física (aunque creo que hay un campo llamado mecánica cuántica fraccionaria que puede usarla)
Entonces, ¿por qué existe si no es una cosa física real?
Lo explicaré.
Consideremos la idea de contar niños en una escuela. Usamos números enteros (enteros positivos) para contar niños. Los enunciados son 5,6…201992 niños, cada uno es significativo en el sentido de que existen matemáticamente Y tienen una interpretación física.
Pero el conjunto de Números no son solo números enteros. Incluye números como $1/2$ y $2^1/2$. Así que podríamos tratar de preguntar bien, ¿cuál es la mitad de un niño o la raíz cuadrada de 2 niños?
Estas son preguntas sin sentido en el sentido de que no puedes tener medio hijo (contrariamente a la creencia popular, desarmar y volver a armar a los niños no es algo fácil ni práctico de hacer). Las cantidades irracionales son aún más difíciles de producir. En pocas palabras, simplemente NO aparecen en ese contexto.
Entonces, ¿por qué te digo esto? He aquí por qué, hagamos la pregunta, no qué significa 1/2 en términos de niños, sino cómo surgió. Surgió porque queríamos generalizar el conjunto de números para incluir cosas entre los enteros. Surgió para aplicaciones además de contar niños y, de hecho, es más específicamente un “subproducto accidental” de la existencia de la división.
Entonces, ¿qué es una derivada fraccionaria? Podemos responder fácilmente a la pregunta de que la n-ésima derivada es la “tasa de cambio de la tasa de cambio… (Repetir n veces) de la tasa de cambio de la función”. Este like children es una estructura discreta. Solo funcionan los números enteros (y si incluye integrales, también los enteros negativos (como una derivada hacia atrás)).
La derivada fraccionaria es una consecuencia de la pregunta “¿cuál es la función que aplico dos veces para obtener una primera derivada”. En lugar de “¿cuál es la tasa de… Tasa de cambio de la función”
Así que en resumen. Es una pregunta interesante en la que ampliamos nuestro nivel de control y comprensión del cálculo, pero comparte poca similitud con las formas más físicas que tenía originalmente el cálculo.