Por fin luego de mucho luchar ya encontramos la solución de esta preocupación que algunos los lectores de este sitio web han tenido. Si deseas compartir algo puedes dejar tu información.
Solución:
Para responder a la pregunta del título, diría: ‘convención’ en matemáticas significa exactamente lo mismo que en inglés ordinario.
En cuanto a sus ejemplos: $0!:=1$ y $[a,a):=emptyset$ are definitions. It is a convention not to use a different definition, or to leave it undefined. Of course in this sense, every definition is a convention.
It think that informally, one says a certain definition (such as the two above) is ‘(just) convention’, to mean that they are ‘extreme’ or ‘degenerate’ cases, and leaving them undefined would still make the theory go through, but it is more convenient to define them anyway (for example to prevent having to exclude this extreme case in statement of theorems). For example, I think you could get by not defining $[a,a)$ or $[a,b]$ por $b
Una convención es una elección hecha porque es conveniente, o al menos, menos inconveniente que la(s) alternativa(s).
Para ver un ejemplo de una definición de conveniencia, permítame responder su pregunta sobre $i$ (de los comentarios y la publicación original) de manera más explícita. En particular, podemos definir el plano complejo y la aritmética compleja de la siguiente manera: Sea $Bbb C:=Bbb R^2$ con suma por componentes, es decir, $$langle a,brangleopluslangle c,drangle:= langle a+c,b+drangle,$$ siendo “$+$” una suma real, y con la multiplicación definida como $$langle a,brangleodotlangle c,drangle:= langle acdot cbcdot d,acdot d+bcdot crangle,$$ siendo “$cdot$” una multiplicación real y “$-$” una resta real.
Ahora, podemos demostrar que estas son operaciones bien definidas, y se verifica fácilmente que $bigl\langle a,0rangle:ainBbb Rbigr$ under $oplus$ and $ odot$ se comporta exactamente como $Bbb R$ bajo $+$ y $cdot$. Al tratar a $Bbb C$ como un espacio vectorial real en dos dimensiones (que lo es, como mencioné en mi comentario anterior), la base ordenada estándar para $Bbb R^2$ es $bigl\langle 1 ,0rangle,langle 0,1ranglebigr$. El primero actúa como $odot$-identidad multiplicativa en todo $Bbb C$, y vemos también que $langle 0,1rangleodotlangle 0,1rangle=langle -1,0 rango$. Identificar esos $Bbb C$-pares de forma $langle a,0rangle$ con sus contrapartes reales $a$, y definiendo $$i:=langle 0,1rangle,$$ encontramos que cada número complejo se puede expresar de forma única en la forma $x+iy$ (con $x,yinBbb R$), y que $ i^2=-1$. (Las otras propiedades de $Bbb C$ también se pueden deducir, pero esa es otra historia).
Tenga en cuenta que no lo hicimos probar que un número como $i$ “existe”…simplemente definimos una estructura y especificamos un elemento de esa estructura, que tiene las propiedades que atribuimos a $i$. Podríamos haber definido fácilmente $$i:=langle 0,-1rangle,$$ sin perder ninguna de esas propiedades, y realmente solo elegimos la definición que hicimos porque concuerda con la base ordenada estándar para $Bbb R ^2$.
Sección de Reseñas y Valoraciones
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