Solución:
Existe una conexión natural particular entre las relaciones de equivalencia y las particiones. Cada partición corresponde a una relación de equivalencia y cada relación de equivalencia corresponde a una partición. Si va y viene a lo largo de esta correspondencia, volverá al punto de partida.
La correspondencia es la siguiente: dada una partición, cada elemento está relacionado con cada elemento en la misma parte, y nada más. La otra forma: Dada una relación de equivalencia, una parte de la partición está dada por un conjunto máximo de elementos todos relacionados entre sí.
Esta correspondencia es lo que quieren decir con “la relación de equivalencia inducida por la partición”.
Sospecho que usan la palabra “inducir” porque la correspondencia se basa en una construcción concreta para pasar de uno a otro. No todas las correspondencias naturales son así.
La partición $ P $ es un conjunto $ {A_ lambda mid lambda in Lambda } $ de subconjuntos de $ A $. La relación $ R $ es el definido por$$ a mathrel Ra ‘ iff text {para algunos} lambda in Lambda, a, a’ in A_j. $$
Eso significaría que piensas en la partición $ P $ como dando las clases de equivalencia de la relación $ R $, asi que $ aRb $ si y solo si hay un $ S en P $ tal que $ a, b en S $.
De esta manera, las relaciones de equivalencia y las particiones son algo intercambiables: cualquier relación de equivalencia corresponde exactamente a una partición del conjunto, que son las clases de equivalencia.