Solución:
Dado que $ phi $ es una función (y no un subconjunto del espacio de medida), realmente no podemos hablar de su medida.
Las funciones simples son una especie de “funciones escalonadas” en el siguiente sentido; los conjuntos $ {A_ {i} } _ {i = 1} ^ {n} $ forman una partición del espacio de medida $ X $ y $ phi $ toma un valor constante en cada $ A_ {i} $, es decir, $ phi | _ {A_ {i}} = alpha_ {i} $ para todos los $ i $. La forma más económica de escribir esto es a través de las funciones indicadoras de cada $ A_ {i} $, por ejemplo, configurando $ phi = sum_ {i = 1} ^ {n} alpha_ {i} chi_ {A_ { i}} $.
Un ejemplo simple de una función simple es la función indicadora $ chi_ {A} $ de cualquier $ A subconjunto X $: toma el valor $ 1 $ en $ A $ y $ 0 $ en el complemento $ A ^ {c} PS
La importancia de las funciones simples es que la integral de medida se define a través de ellas. De hecho, se puede demostrar que para cualquier función medible no negativa $ f $ existe una secuencia no decreciente de funciones simples $ ( phi_ {i}) $ de modo que $ phi_ {i} af $ puntualmente.
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Supongamos que tiene un espacio de medida $ (X, Sigma, mu) $ (el punto es general, pero puede dejar que $ X = mathbb {R} $, $ Sigma $ sean los conjuntos de Borel y $ mu $ sea medida de Lebesgue) y una función medible $ f: X to mathbb {R} $. No tiene sentido preguntar si $ f $ tiene medida cero en este contexto, ya que la medida solo se define para elementos de $ Sigma $, que son todos subconjuntos de $ X $.
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No es posible escribir funciones medibles generales como funciones simples. Pero puede escribirlos siempre como el límite puntual de funciones simples. Y una función medible no negativa se puede escribir como el límite creciente de funciones simples. Esto no es trivial y requiere pruebas. Estoy seguro de que Royden muestra eso en alguna parte.
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La motivación para las funciones simples es la siguiente: no tenemos una noción obvia de cuál debería ser la integral de una función general medible. Para simplificar, consideremos el caso en el que la medida es una medida de Lebesgue y restrinjamos las funciones en cuestión para que no sean negativas. La integral debe ser algo así como el área debajo de la función. Sabemos que el área de una rectagle es su altura por su ancho. Ahora, si deja que $ A $ sea el intervalo $[a,b]$ y observe la función $ alpha chi_A $, se verá como un rectángulo con altura $ alpha $ y ancho $ ba = lambda (A) $. Si agregamos tales funciones, podemos agregar el área, entonces si todos los $ A_i $ en las funciones simples $ sum_ {i = 1} ^ n alpha_i chi_ {A_i} $ son intervalos con $ A_i =[a_i,b_i]$, podemos calcular la integral como $ sum_ {i = 1} ^ n alpha_i (b_i-a_i) = sum_ {i = 1} ^ n alpha_i lambda (A_i) $. Ahora bien, realmente no importa que $ A_i $ sean intervalos y tengan una “longitud”, podemos usar la medida de Lebesgue para generalizar esta construcción permitiendo que $ A_i $ sean conjuntos mensurables arbitrarios, lo que nos da una clase de funciones mucho más grande para lo cual es “obvio” cuál debería ser la integral. Ahora bien, si una secuencia de funciones para las que la integral es obvia converge a una función, entonces las áreas y estas funciones también deberían converger. Entonces, para una función medible no negativa general $ f $, elegimos una secuencia de funciones simples $ (f_n) $ que aumenta a $ f $ y definir $ int fd mu $ será $ lim_ {n to infty} int f_n d mu $. Se puede demostrar que esta definición funciona, la secuencia específica de funciones simples no importa.
Una función simple en $ X $ es constante en un número finito de subconjuntos medibles que cubren $ X $.
Creo que se equivoca al preguntar, en el contexto actual, la medida de la función $ phi $ a. $ phi $ en sí mismo no tiene un número finito de elementos. Hay formas de medir funciones, pero aquí no son relevantes.
La forma de representar una función simple es como una función de escalera: su gráfico es segmentos de línea horizontal sobre las $ A_i $ abscissas, es solo un número finito de alturas distintas, una por cada $ A_i $, que es medible. La combinación lineal finita lo hace evidente.
Como las funciones simples solo toman un número finito de valores, no pueden representar otras funciones continuas que las constantes, por lo que debe usar procesos de limitación. Puede tomar todas las funciones simples inferiores o iguales a una función dada $ f $, entonces el superior de sus valores en $ x $ es $ f (x) $, y puede tomar secuencias de funciones tan simples para aproximar $ f $. Esto se usa para definir la integral de $ f $ y es consistente con el teorema de convergencia dominado de Lebesgue.