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Solución:
La confusión surge porque hay dos usos inconsistentes, aunque relacionados, de la palabra función. El uso más antiguo es lo que puede llamarse variable dependienteen (por ejemplo) la frase “$y$ es una función de $x$o, más específicamente, “la función $y=2x+4$”. Este uso sigue siendo común entre los no matemáticos que emplean las matemáticas. Este lenguaje tiende a ser evitado por los matemáticos actuales, porque implica, en este caso por ejemplo, que una función es una especie de número real (que depende de otro número real libremente especificable). La función aquí no es $y$ pero (en términos simples) la regla que especifica cómo $y$ se obtiene de $x$. En el sentido moderno, una función puede definirse con precisión como una especie de objeto matemático, que es bastante distinto de los valores (por ejemplo, $y$) asociado con la función.
En última instancia, creo que tienes razón al escribir $y = f(x)$ cuando se da la información”$y$ es una función de $x.$“
Como mencionas, la ecuación $y(x) = 2x + 4$ implícitamente da la información de que la salida $y$ depende de la entrada $x,$ es decir, $y$ es la variable dependiente, y $x$ es la variable independiente; sin embargo, es un abuso común de la notación escribir $y = 2x + 4$ en lugar de la función $y(x) = 2x + 4.$ Desafortunadamente, en este caso, la notación es ambigua porque, como notó, también podríamos escribir $x = frac 1 2 y – 2,$ y esto describe $x$ como una función $x(y) = frac 1 2 y – 2$ de $y.$ Lo que estás presenciando en este ejemplo es que la función $f(x) = 2x + 4$ tiene inversa, es decir, existe una función $g(x)$ tal que $f circ g(x) = x$ y $g circ f(x) = x.$ Explícitamente, la función inversa es $g(x) = frac 1 2 x – 2.$ Uno puede comprobar que $f circ g(x) = 2g(x) + 4 = x$ y $g circ f(x) = frac 1 2 f(x) – 2 = x.$
Como Maryam menciona arriba, la clara distinción entre una función $f(x)$ y una ecuación es que una función viene con un dominio (es decir, un conjunto de $x$-valores que son entradas válidas para $f(x)$) y un codominio (es decir, un conjunto de $y$-valores que son salidas válidas para $f(x)$). Desafortunadamente, en el caso de $f(x) = 2x + 4,$ todos $x$-los valores son entradas válidas, y todos $y$-los valores son salidas válidas, por lo que el dominio y el codominio a menudo se suprimen; sin embargo, para la función $g(x) = sqrt x,$ el dominio y el codominio son bastante importantes porque la raíz cuadrada de un número negativo no es un número real, de ahí la ecuación $y = sqrt x$ es bastante sin sentido.
Una función es la suma de tres informaciones: el dominio, el codominio y una regla. Dices una función $f:Aa B$ es definido por $y=f(x)$ para especificar que el dominio es $A$el codominio es $B$ y la regla se expresa mediante la ecuación $y=f(x)$. De manera equivalente, puede ver una función de un dominio $A$ a un codominio $B$ y definido por una ecuación $y=f(x)$ como una relación de $A$ para $B$que es como un subconjunto del producto cartesiano $Aveces B$tal que el par ordenado $(x,f(x))$ es un elemento de esa relación para todos $x$ en el dominio $A$ de $f$. Si, como en su ejemplo, la relación es invertible, entonces para todo $xen A$ y todo $(x,y)en f$tienes que el par simétrico $(y,x)$ está en la relación inversa $f^-1$que es una función del dominio $B$ al codominio $A$definida por la ecuación $x=f^-1(y)$ para todos $yen B$.
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