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Solución:
La integral de Riemann se define en términos de sumas de Riemann. Considere esta imagen de la página de Wikipedia:
Aproximamos el área bajo la función como una suma de rectángulos. Podemos ver que en este caso, la aproximación es cada vez mejor a medida que el ancho de los rectángulos se hace más pequeño. De hecho, la suma de las áreas de los rectángulos converge a un número, este número se define como la integral de Riemann de la función.
Sin embargo, tenga en cuenta que podemos dibujar estos rectángulos de varias maneras, como se muestra a continuación (de esta página web)
Si, sin importar cómo dibujemos los rectángulos, la suma de sus áreas converge a algún número $F$ cuando el ancho de los rectángulos se aproxima a cero, decimos que la función es integrable de Riemann y definimos $F$ como la integral de Riemann de la función. Para algunas funciones el área no convergerá, siendo el ejemplo canónico la función indicadora de los racionales $mathbb1_mathbbQ(x)$, que es $1$ si $x$ es un racional y $0$ de lo contrario.
Tal vez una perspectiva histórica ayude. Nunca está de más tener muchos puntos de vista sobre lo que hace una definición matemática.
Durante la mayor parte del siglo XVIII, la integral se consideró solo una antiderivada, de la misma manera que muchos estudiantes de cálculo todavía la consideran. Si desea calcular $$ int_a^bf(x),dx $$, realmente debe encontrar una antiderivada $F$ para la función $f$ y luego escribir o calcular $$ int_a^bf(x), dx =F(b)-F(a).$$ Cauchy, a principios del siglo XIX, sintió que esto debía colocarse sobre una base más rigurosa.
Si supone que la función $f$ es continua y que las funciones continuas tienen antiderivadas, tome cualquier punto $a=x_0 [x_i-1,x_i]$ siempre que $f(hat x_i)$ y $f(xi_i)$ estén juntos. Para funciones continuas, esto es fácil de organizar. No obtienes una fórmula exacta para la integral, obtienes una fórmula aproximada: $$ int_a^bf(x),dx =F(b)-F(a) approx sum_i=1^ nf(xi_i)cdot(x_i-x_i-1).$$
El resultado final es que Cauchy demostró que la integral de toda función continua puede aproximarse mediante estas sumas de Riemann.
Riemann acaba de hacer la pregunta obvia:
¿Hay otras funciones (no solo continuas) que también tienen una integral usando el mismo método de Cauchy?
Entonces, la clase de funciones integrables de Riemann es la clase de funciones para las que funciona el método de Cauchy. Esto es algo más grande que la clase de funciones continuas, una clase lo suficientemente grande como para que los matemáticos del siglo XIX pensaran que tenían una teoría de integración bastante buena. (No lo hicieron.)
Una función positiva es Riemann integrable en el intervalo $[a,b]$ si el mínimo de las sumas superiores es igual al supremo de las inferiores. (Tendrás que buscar qué es una suma superior y una suma inferior. Intuitivamente, una suma superior es una aproximación del área de la curva desde arriba, mientras que una suma inferior es una aproximación del área de la curva desde abajo).
En otras palabras, la mejor aproximación del área de la función desde abajo es igual a la mejor aproximación del área de la función desde arriba.
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