El paso a paso o código que hallarás en este artículo es la solución más eficiente y válida que hallamos a tus dudas o dilema.
Solución:
Yo diría que depende en gran medida del contexto y de las herramientas que tenga a su disposición. Por ejemplo, decirle a un estudiante que acaba de dominar los trucos habituales de integrar funciones elementales que
$$ int frac exp u -1 u mathrm d u $$
y
$$ int sqrt (u + 1) (u ^ 2 + 1) mathrm d u $$
No tener soluciones de forma cerrada es solo una forma elegante de decir “no, todavía no puedes hacer estas integrales; no tienes las herramientas”. Para un científico en activo que usa integrales exponenciales y elípticas, sin embargo, tienen formas cerradas.
De manera similar, cuando decimos que las ecuaciones no lineales, ya sean algebraicas como $ x ^ 5-x + 1 = 0 $ o trascendentales como $ frac pi 4 = v- frac sin ; v 2 $ no tienen soluciones de forma cerrada, lo que realmente estamos diciendo es que no podemos representar soluciones para estas en términos de funciones que conocemos (¿y amamos?). (Sin embargo, para el primero, si conoce las funciones hipergeométricas o theta, entonces sí, tiene una forma cerrada).
Creo que es justo decir que mientras no hayamos visto la solución a una integral, suma, producto, fracción continua, ecuación diferencial o ecuación no lineal con suficiente frecuencia en las aplicaciones para darle una estándar nombre y notación, simplemente salimos y decimos “no, no tiene una forma cerrada”.
Para comprender mejor las formas cerradas, es posible que desee familiarizarse con lo que se llama álgebra diferencial. Así como la teoría de números se basa en estructuras abstractas como anillos, campos, ideales, etc. para expresar raíces de ecuaciones algebraicas usando números elementales, de manera similar existe un aparato paralelo para expresar funciones (es decir, soluciones de ecuaciones diferenciales) usando anillos diferenciales, campos, ideales llamados álgebra diferencial. Es este mecanismo subyacente el que define qué funciones pueden expresarse como “formas cerradas”.
Paralelas:
- Similar a la división de campos para ecuaciones algebraicas, existe una teoría de Galois paralela con extensiones de Picard-Vessiot y otras cosas.
- Similar a la correspondencia entre subcampos de campos numéricos y subgrupos de Galois, en el lado diferencial, existe una correspondencia entre subcampos diferenciales y subgrupos de grupos algebraicos.
- Así como se puede determinar que las ecuaciones algebraicas se pueden resolver mediante radicales, de manera similar se puede determinar que las ecuaciones diferenciales lineales se pueden resolver mediante exponenciales, funciones de Liouvillian, etc. Hay una torre ascendente de campos diferenciales que se puede construir.
Hay más … No soy un experto en este campo del álgebra diferencial, pero si desea algunas referencias disponibles gratuitamente, consulte
- Álgebra computarizada de Seiler y ecuaciones diferenciales
- Teoría de Van der Put Galois de ecuaciones diferenciales, grupos algebraicos y álgebras de Lie
- Los artículos de Michael F. Singer son buenos. Véase, por ejemplo, “Teoría de Galois de ecuaciones diferenciales lineales”.
- Consulta el seminario de Kolchin en álgebra diferencial
Consulte los enlaces a continuación para ver el artículo de Timothy Chow.
a)
[Borwein/Crandall 2013] intenta dar una respuesta.
$ $
B)
Supongamos, $ f (x) = 0 $ se va a resolver por $ x $.
Si la ecuación $ f (x) = 0 $ no tiene una solución de forma cerrada, la ecuación no tiene una solución que pueda expresarse como una expresión de forma cerrada.
Una expresión matemática es una expresión de forma cerrada si contiene solo números finitos de constantes, funciones explícitas, operaciones y / o variables.
Con sentido, todas las constantes, funciones y operaciones en una expresión de forma cerrada dada deben ser de conjuntos dados.
C)
Digamos, una forma cerrada (parcial) inversa ($ f ^ – 1 $) es una (parcial) inversa (= función inversa) cuyo término de función se puede expresar como expresión de forma cerrada.
Porque $ f (x) = 0 $ y la definición de una inversa (parcial) $ f ^ – 1 (f (x)) = x $, lo siguiente es válido: $ f ^ – 1 (f (x)) = f ^ – 1 (0) $, $ x = f ^ – 1 (0) $. Y por lo tanto: si una ecuación $ f (x) = 0 $ no tiene una solución de forma cerrada, la función $ f $ no tiene inversa de forma cerrada parcial, o existe una inversa de forma cerrada parcial pero no está definida para el argumento $ 0 $ del lado derecho de la ecuación. Esto significa, $ x $ no se puede aislar en un solo lado de la ecuación
– aplicando una inversa de forma parcial cerrada de $ f $,
– aplicando solo las operaciones inversas parciales de forma cerrada y las operaciones inversas de las funciones de forma cerrada operaciones respectivas que están contenidas en la expresión $ f (x) $.
La existencia de una inversa de forma cerrada parcial es un criterio suficiente pero no necesario para la existencia de una solución de forma cerrada.
D)
Lin y Chow piden números de forma cerrada. Un número de forma cerrada es un número que se puede generar a partir de un número racional solo mediante funciones de forma cerrada.
mi)
Las funciones elementales son un tipo especial de funciones de forma cerrada. Los números elementales de Lin y los números logarítmicos exponenciales de Chow son tipos especiales de números de forma cerrada.
Si $ f $ es una función elemental, las siguientes declaraciones son equivalentes:
– $ f $ se genera a partir de su única variable de argumento en un número finito de pasos realizando solo operaciones aritméticas, funciones de potencia con exponentes enteros, funciones raíz, funciones exponenciales, funciones logaritmos, funciones trigonométricas, funciones trigonométricas inversas, funciones hiperbólicas y / o funciones hiperbólicas inversas.
– $ f $ se genera a partir de su única variable de argumento en un número finito de pasos realizando solo operaciones aritméticas, exponenciales y / o logaritmos.
– $ f $ se genera a partir de su única variable de argumento en un número finito de pasos realizando solo funciones algebraicas explícitas, exponenciales y / o logaritmos.
Mientras que Ritt y Lin permiten funciones algebraicas explícitas e implícitas, Chow restringe las operaciones algebraicas aprobadas a las funciones algebraicas explícitas, que son las operaciones aritméticas.
$ $
[Borwein/Crandall 2013] Borwein, JM; Crandall, RE: Formularios cerrados: qué son y por qué nos importa. Avisos AMS 60 (2013) (1) 50-65
[Chow 1999] Chow, TY: ¿Qué es un número de formato cerrado? Amer. Matemáticas. Mensual 106 (1999) (5) 440-448 o https://arxiv.org/abs/math/9805045
[Lin 1983] Ferng-Ching Lin: la conjetura de Schanuel implica las conjeturas de Ritt. Barbilla. J. Math. 11 (1983) (1) 41-50
[Risch 1979] Risch, RH: Propiedades algebraicas de las funciones elementales de análisis. Amer. J. Math 101 (1979) (4) 743-759
[Ritt 1925] Ritt, JF: Funciones elementales y sus inversas. Trans. Amer. Matemáticas. Soc. 27 (1925) (1) 68-90
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