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¿Qué significa la integral de posición con respecto al tiempo?

Solución:

$ newcommand { Reals} { mathbf {R}} newcommand { Vec}[1]{ mathbf {# 1}} $ tl; dr: Es cierto que “la velocidad es la derivada de la posición”, pero “la aceleración es la derivada de la velocidad” es no cierto en el mismo sentido: la noción de velocidad es independiente de los cambios arbitrarios de coordenadas, pero la aceleración no lo es; tienes que equipar el espacio con una “estructura extra” antes de que puedas entender la aceleración (que se convierte en la “derivada covariante” de la velocidad). En este marco, “integral de posición” ni siquiera tiene matemático sentido; no hay forma de agregar posiciones.


Consideración: No sé cómo expresar estas ideas sin ir más allá del plan de estudios normal de la escuela secundaria. Sin embargo, he intentado descartar los tecnicismos y el material más profundo como enlaces web.

Primero echemos un vistazo más de cerca a las premisas implícitas:

  1. La velocidad es la derivada de la posición.

  2. La aceleración es la derivada de la velocidad.

A pesar de lo que enseñamos en cálculo elemental, estas afirmaciones no están en pie de igualdad.

En cálculo elemental y física, nuestro modelo de espacio es $ Reals ^ {n} $, el espacio cartesiano cuyos puntos están etiquetados por $ n $ -tuplas ordenadas de números reales. Nuestro modelo de tiempo es $ Reals $, y un intervalo $ I $ de números reales representa “un intervalo de tiempo”. los posición de una partícula puntual durante un intervalo $ I $ se modela mediante un mapeo continuo (a menudo suave) $ Vec {x}: I a Reals ^ {n} $, que inconscientemente “descomponemos en funciones componentes”: $$ Vec {x }

Si la posición de nuestra partícula es continuamente diferenciable, definimos el velocidad ser $$ Vec {x} ‘

Una inspección más cercana nos lleva a un punto de vista más cauteloso: las coordenadas cartesianas que hemos dado por sentado no son intrínsecas al espacio; son estructura extra que impusimos. En ese espíritu, deberíamos preguntarnos si las definiciones anteriores dependen de la elección de coordenadas.

Sorprendentemente, la velocidad “se transforma linealmente (es decir, como un tensor) bajo el cambio de coordenadas”. La aceleración no lo hace.

Para ver por qué, hagamos que $ phi $ represente una transformación de coordenadas y escriba $ Vec {y} = phi ( Vec {x}) $ para la representación de coordenadas de la posición de nuestra partícula en las “nuevas” coordenadas. Según la regla de la cadena (multivariable), $$ Vec {y} ‘

Por el contrario, diferenciar (2b) y usar la regla del producto da $$ y ”

  • Restringir el conjunto de cambios de coordenadas “permitidos”, o

  • Modifique nuestra noción de diferenciación para cancelar el segundo término.

El enfoque del cálculo elemental y la física puede verse como una fijación de la métrica euclidiana y que solo permite cambios de coordenadas que preservan esta estructura adicional. Si $ phi $ es un movimiento rígido (euclidiano), entonces la primera derivada $ D phi $ es un campo constante de transformaciones lineales y la segunda derivada desaparece, por lo que (3b) se convierte en $$ Vec {y} ”

El enfoque de la mecánica sin coordenadas y de la relatividad general consiste en fijar una métrica de Riemann y reemplazar la derivada por componentes con la diferenciación covariante. (Compare el segundo término de la derecha en (3b) con los segundos parciales de $ Psi $ que aparecen en la entrada de Wikipedia sobre los símbolos de Christoffel).

Para resumir la discusión anterior:

  • En cálculo elemental y física, la posición, la velocidad y la aceleración se modelan por $ n $ -tuplas ordenadas de números reales, es decir, por puntos / vectores en $ Reals ^ {n} $.

  • Cuando uno mira más de cerca, la posición de una partícula puntual es modelada por un punto en un colector $ n $ suave $ M $; una velocidad es un elemento del paquete tangente de $ M $; una aceleración es

    1. Un elemento del segundo paquete tangente $ T (TM) $ (si no imponemos una estructura adicional a $ M $), o

    2. Un elemento de $ TM $ (si usamos una conexión para identificar el subpaquete horizontal de $ T (TM) $ con $ TM $).


Con todo esto entendido, es difícil entender qué se entiende incluso por “la integral de posición” en un sentido invariante de coordenadas. En términos generales, la integración es un proceso de suma, pero las posiciones, los puntos de una variedad, no se pueden agregar de ninguna manera obvia y natural. (Con el fin de sustraer puntos de una manera coordenada invariante, tuvimos que construir un espacio completamente nuevo, el paquete tangente $ TM $.)

Además, uno esperaría ingenuamente que “la derivada de ‘la integral de la posición con respecto al tiempo’ es la posición (hasta una constante aditiva)”. Si “la integral de posición” pudiera interpretarse como una ruta en alguna variedad $ P $, la derivada de esta ruta entonces “viviría” tanto en $ TP $ como en $ M $; eso es imposible, ya que “la mayoría” de las variedades $ M $ no son el espacio total del paquete tangente de otra variedad.

Si bien estas observaciones no son definitivas (es posible que me esté volviendo poco imaginativo con la edad), sugieren fuertemente que

  • En el marco de la geometría diferencial, “la integral de la posición con respecto al tiempo” no tiene ningún significado matemático (mucho menos físico).

  • Cualquier definición útil de “la integral de posición con respecto al tiempo” requerirá una reformulación fundamental de la noción de posición.

  • Aparte de las interpretaciones dentro de la geometría euclidiana (que, en mi opinión, sospecho que “no son particularmente interesantes”), la expresión $$ int Vec {x}

Se llama Absement. Desde la página de Wikipedia,

… absement (o absición) es una medida del desplazamiento sostenido de un objeto desde su posición inicial, es decir, una medida de qué tan lejos y por cuánto tiempo.

También hay nombres para más derivadas / integrales de posición:

-4 Abserk
-3 Abseleration
-2 Absity
-1 Absement [Absition]
 0 Displacement [Position]
 1 Velocity
 2 Acceleration
 3 Jerk
 4 Jounce
 etc
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