Solución:
Trate de dibujar un cuadrado $ ABCD $ con un lado igual a $ L $. Ahora dibuja un cuadrado un poco más grande $ AB’C’D ‘$ con una longitud de lado $ L + Delta L $ (tal que $ DD’ = BB ‘= Delta L $). Ahora mire la forma similar a $ Gamma $ cortada de $ AB’C’D ‘$ por $ ABCD $, puede dividirla en tres partes: dos rectángulos delgados $ L times Delta L $ y un cuadrado pequeño $ Delta L times Delta L $.
Ahora, la derivada es en términos bastante simplificados “la diferencia de valor de la función sobre el cambio de argumento”, así que básicamente cuando aumenta la longitud del lado en $ Delta L $, entonces la superficie aumenta en $ 2L Delta L $ y un término insignificante $ ( Delta L) ^ 2 $.
También se puede decir que $ 2L $ significa el perímetro de la parte del cuadrado que se infló.
Considere esta imagen:
Aquí, el cuadrado verde es el cuadrado del área $ A = L ^ 2 $ y la línea roja es su incremento.
Cuando aumenta la longitud $ L $ en $ dL $, el área $ A $ aumenta en $ 2LdL $. Entonces, para responder a su pregunta, la importancia de $ 2L $ es que es la longitud de la línea roja en la imagen ($ dL $ es su ancho).
Pensar en la derivada gráficamente como la pendiente de la tangente es solo una forma de entender el significado de la derivada. Es el más común, porque es la forma en que se motiva la derivada en la mayoría de los cursos introductorios de cálculo. Pero el significado y el valor de la idea de un derivado es mucho más profundo. La derivada mide la índice en que algo cambios. Vale la pena pensar en eso antes de comenzar con gráficos y fórmulas. Aquí hay unos ejemplos.
Suponga que está conduciendo. Entonces, la distancia que ha recorrido cambia con el paso del tiempo. Si conduce a una velocidad constante de 30 millas por hora, la distancia aumenta en 30 millas por cada hora de viaje. La derivada de la distancia es la tasa: 30 millas por hora.
Ese es un ejemplo fácil porque la velocidad de desplazamiento es constante. El cálculo se inventó para manejar situaciones en las que la tasa misma está cambiando. Por ejemplo, si comienza desde una luz roja y acelera hasta el límite de velocidad legal de 30 millas por hora, entonces su velocidad está cambiando. La derivada de la velocidad es la tasa a la que estás acelerando: la aceleración. Puede medir eso en (millas por hora) por segundo.
En economía, el número de clientes de su producto depende del precio que cobre. Cuando suba el precio, menos personas le comprarán. La derivada del número de clientes es la tasa a la que los pierde, medida en (clientes perdidos) por (aumento de precio en dólares). En este caso, la derivada es negativa.
Las poblaciones cambian con el tiempo. Para los microorganismos, puede optar por medir el tiempo en horas. Entonces, la derivada de la población es el número de nuevos organismos por hora. Entonces las cosas se ponen interesantes, porque la cantidad de nuevos organismos por hora depende de la población: cuantos más organismos tenga, más habrá para reproducirse. Entonces, la derivada de la población, medida en nuevos organismos por hora, es el producto del número de organismos y la tasa de natalidad. Eso significa que la derivada de la población (a medida que pasa el tiempo) es proporcional a la población. Que lleva a crecimiento exponencial.
Puedes describir la derivada de una gráfica de la función y = f (x) de la misma manera. Aquí la altura y cambia a medida que cambia el valor de x. Cuanto más pronunciada sea la gráfica (en cualquier punto en particular), mayor será el cambio en y para cualquier pequeño cambio particular en x. La tasa a la que cambia y es la derivada. Tienes que pensar solo en pequeños cambios en x ya que la gráfica es una curva, cuya inclinación varía de un lugar a otro. Siempre que el cambio en x sea pequeño, la curva casi coincide con la tangente, cuya pendiente es solo la tasa de cambio que le interesa. (A los matemáticos les ha costado siglos de trabajo dar un sentido preciso a la idea expresada aproximadamente como “si cambia x solo una cantidad infinitesimal, entonces la curva y la tangente son iguales”).
Ahora piense en la pregunta que hizo. El área de un cuadrado depende de la longitud de su lado. La derivada mide la velocidad a la que cambia el área cuando cambia el lado, medida en unidades como (centímetros cuadrados de área) por (centímetro de lado). La respuesta de @TZakrevskiy anterior explica por qué eso es solo el doble de la longitud del lado. Aquí hay una pregunta análoga: explique por qué cuando crece un círculo de radio r, el área cambia a razón de 2 pi r.
Ojalá hubiera más tiempo y más incentivos para dedicar tiempo en clases de cálculo a estas ideas, en lugar de apresurarse a las reglas y fórmulas para derivadas (e integrales).