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Solución:
La palabra “genérico” se usa en la teoría de modelos para varias nociones diferentes (pero estrechamente relacionadas). Debido a que las analogías y conexiones entre estas nociones son tan fuertes, creo que este es un caso en el que la sobrecarga de terminología es útil. Pero significa que siempre debe buscar una aclaración de qué se entiende exactamente por “genérico” en cualquier situación dada.
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El compañero modelo / estructuras existencialmente cerradas. Así que si $T$ es inductivo, es decir $forallexiste$-axiomatizable, teoría, luego un “modelo genérico de $T$es un modelo existencialmente cerrado de $T$y la “teoría de los modelos genéricos de $T$es el compañero modelo de $T$.
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Límites de Fraïssé. Así que si $K$ es una clase de Fraïssé, entonces su “estructura genérica” asociada es su límite de Fraïssé. Dado que el límite de Fraïssé es un término perfectamente bueno (y más preciso), generalmente escucha la terminología “estructura genérica” utilizada en el contexto de una de las muchas variaciones sobre la noción de clase de Fraïssé que aparecen en la literatura (como en la respuesta de dav11) .
Creo que estos usos se derivan del significado de “genérico” en topología general. Aquí, una propiedad (de puntos en un espacio) se llama “genérica” si el conjunto de todos los puntos que satisfacen esta propiedad es mayor. Así que a veces verás:
- En un entorno en el que las estructuras de cierto tipo pueden verse como puntos en un buen espacio topológico, una “estructura genérica” de ese tipo es una estructura cuya clase de isomorfismo está llegando.
En buenas situaciones (pero ciertamente no en todas), los usos anteriores de “genérico” concuerdan. Por ejemplo, si $K$ es una clase de Fraïssé en un lenguaje relacional finito, entonces $K$ es la clase de todos los modelos finitos de una teoría universal $T$y el conjunto de todos los modelos de $T$ con dominio $omega$ es visto naturalmente como un espacio polaco. Alquiler $ millones Sea el límite de Fraïssé de $K$la clase de isomorfismo de $ millones es comeager en este espacio, y $ millones es el único modelo contable hasta el isomorfismo del modelo compañero de $T$.
También es posible que la palabra “genérico” haya entrado en la teoría del modelo a través de un forzamiento. A una clase de Fraïssé $K$ o a una teoría inductiva $T$puede asociar posets (p. ej. $K$ con la relación de subestructura), tal que el forzamiento con estos posets produce un filtro genérico que codifica un límite de Fraïssé de $K$ o un modelo existencialmente cerrado de $T$, respectivamente. Por supuesto, estas “estructuras genéricas” en realidad serán isomorfas a las estructuras en el modelo básico, por lo que aquí no hay una independencia teórica de conjuntos, y en realidad no tenemos que apelar a la maquinaria de forzamiento. Este tipo de “forzamiento fácil” con estructuras se conoce con el nombre de “forzamiento teórico del modelo”: tiene como casos especiales la construcción del límite de Fraïssé y la construcción de modelos existencialmente cerrados.
Por supuesto, el significado de “genérico” en forzado también está estrechamente relacionado con el significado de “genérico” en topología. Así que esta es otra cara de la misma moneda.
Finalmente, en terminología:
Usted escribió “Por lo general, la teoría completa de $mathcalM$ se llama genérico modelo de gráficos aleatorios”. Creo que quisiste decir “Por lo general, la teoría completa de $mathcalM$ se llama genérico teoría de grafos aleatorios”. Pero yo no lo llamaría ninguna de estas cosas. Para mí, el grafo aleatorio es un gráfico infinito numerable particular (hasta el isomorfismo), y su teoría se llama “la teoría del gráfico aleatorio” o “la teoría genérica de los gráficos”.
Solo pluralizaría “gráficos aleatorios” si estuviera hablando de gráficos seleccionados de algún proceso aleatorio (no necesariamente el proceso de Erdös-Rényi que produce el gráfico aleatorio con probabilidad $1$). Así que no llamo a los modelos incontables de la teoría genérica de grafos “grafos aleatorios”.
Debido a que surge como un límite de Fraïssé, el “gráfico aleatorio” también podría llamarse razonablemente “gráfico genérico”. Por supuesto, se llama el “gráfico aleatorio” porque surge con probabilidad $1$ de un proceso aleatorio natural. A veces, la gente aplica el adjetivo “aleatorio” a otros límites de Fraïssé por analogía con el gráfico aleatorio, por ejemplo, “gráfico aleatorio sin triángulos” u “orden parcial aleatorio”. Creo que es mucho mejor decir “gráfico genérico sin triángulos” u “orden parcial genérico” en estos casos, ya que estas estructuras no surgen con probabilidad $1$ de cualquier proceso aleatorio particularmente natural. Por supuesto, la cuestión de qué cuenta como un proceso aleatorio “natural” es bastante interesante. Aún más interesante es la cuestión de cuándo concuerdan “aleatorio” (medida) y “genérico” (categoría de Baire), como en el caso del gráfico aleatorio.
La palabra genérico, en el contexto de las clases de Fraisse modificadas, se introduce en el artículo “Sobre estructuras genéricas” de D. Kueker y M. Laskowski. Creo que la idea es que, bajo una noción correcta de “igual”, no se pueden distinguir dos subestructuras finitas que sean iguales. Por ejemplo, en el gráfico aleatorio, dos subestructuras finitas cualesquiera con el mismo tipo de cuantificador libre son “similares”. El hecho de que “no se puedan distinguir” se evidencia por el hecho de que cualquier isomorfismo entre dos estructuras de este tipo se extiende a un automorfismo de todo el grafo aleatorio. Tenga en cuenta que este uso de la palabra coincide con los comentarios de Henno Brandsma.
Según tengo entendido, el gráfico sin corbatín se puede ver de esta manera: consulte el teorema 3.7 de https://arxiv.org/pdf/1705.01347.pdf y la discusión que lo rodea sobre cómo se relaciona con lo anterior.
De manera similar, creo que un “automorfismo genérico” pretende capturar la idea de un automorfismo que carece de demasiadas propiedades especiales. Por ejemplo, piense en el automorfismo de identidad. Este es un automorfismo especial con muchas propiedades especiales y no es el tipo de objeto que desea estudiar. En muchos casos en los que surge la noción de “automorfismo genérico” (hay genéricos de Truss, etc. que no ha mencionado que surgen en contextos distintos a los que ha mencionado), podrá demostrar con bastante facilidad que la identidad no encaja la noción de un “automorfismo genérico”.
Recuerda que puedes decir .