Puede que se de el caso de que encuentres algún problema en tu código o proyecto, recuerda probar siempre en un entorno de testing antes aplicar el código al trabajo final.
Solución:
Un monopolo (gravitatorio) de un sistema es básicamente la cantidad de masa-energía que tiene el sistema.
Un dipolo es una medida de cómo se distribuye la masa lejos de algún centro.
El momento cuadripolar describe cuán estirada está la distribución de masa a lo largo de un eje. El cuadrupolo sería cero para una esfera, pero distinto de cero para una barra, por ejemplo. También es distinto de cero para la Tierra, porque la Tierra es un esferoide achatado.
La contribución gravitacional de un cuadrupolo cae más rápido que la de un monopolo. (razón por la cual el momento cuadripolar de la Tierra es importante para estudiar satélites y no realmente para estudiar la luna, debido a la dependencia $r^-3$ de la contribución al potencial)
Los cuadrupolos y otros momentos de orden superior son importantes en GR porque el cambio en su distribución puede producir ondas gravitacionales.
Ejemplo:
Consideremos dos casos, en ambos casos, los cuerpos grandes son de masa $M$ y el pequeño de masa $m$, y el pequeño está en el eje de simetría a una distancia $r$.
Caso 1: Sin momento cuadripolar.
La fuerza aquí es simple: $$fracGMmr^2$$.
Caso 2: Momento cuadripolar distinto de cero. (las esferas más grandes están separadas por cierta distancia $2R$.)
La fuerza en este caso es: $$frac2GMmr(r^2+R^2)^3/2$$
Esto, para $r$ grandes, se puede aproximar a (expansión de series de dos términos): $$F sim frac2GMmr^2-frac3GMmR^2r^4$$
los extraño término aquí se debe al momento cuadripolar del sistema. A medida que te alejas ($r>>R$), la fuerza, $F$ es más o menos: $$F sim frac2GMmr^2$$
Esta es la razón por la que el “efecto de momento cuadripolar” cae con distancia
Disculpas por los desagradables diagramas de MS Paint.
Imagina tener una distribución masiva. $rho(x,y,z)$ alrededor del origen O y queremos calcular la energía potencial y la fuerza en un cierto punto P en el eje z. La energía potencial se puede expresar fácilmente mediante la integral: $$U=-GMint_Vfracrho(x,y,z)Rdv$$
Sin embargo, esta integral puede ser difícil de calcular y, a menudo, es más fácil expresar el integrando mediante una serie, esto se denomina expansión multipolar y se puede hacer tanto para la fuerza gravitatoria como para la fuerza electrostática.
Debido a la ley de los cosenos, expresamos R en función de $theta$, $r’$ yr: $R^2 = r^2 +r’^2 – 2rr’cos(theta)$ahora podemos simplificar esta integral usando esta identidad y una serie de Taylor:
$$frac1R = frac1rfrac1sqrt1+alpha = frac1rleft(1-frac 12alfa+frac38alfa^2-…derecha)$$
dónde $alpha=left(fracr’rright)^2-frac2r’rcos(theta)$
La energía potencial ahora se convierte en:
$$U=frac-GMrint_Vrho dv+frac-GMr^2int_Vr’cos(theta)rho dv+frac -GMr^3int_Vr’^2frac3cos^2(theta)-12rho dv +…$$
Como puede ver, en cada término, la potencia de r se vuelve cada vez más pequeña. A menudo reescribimos esta expresión como:
$$U=-GMizquierda(fracC_0r+fracC_1r^2+fracC^2r^3…derecha)$$
Dónde $C_0$ es el momento monopolar, $C_1$ el momento dipolar,$C_2$ el momento cuadripolar y así sucesivamente. Estos pueden interpretarse fácilmente por lo que me refiero a @Hritik Narayan.
Eres capaz de añadir valor a nuestra información asistiendo con tu experiencia en las observaciones.