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Solución:
Significa decir que la diferencia, cuando $ dx $ es infinitesimalmente pequeño (en el sentido del cálculo), es proporcional a $ dx $ a la potencia 1, $ dx ^ 1 $.
Por ejemplo, una expansión de Taylor de una función cerca de un punto dado $ x $,
$$ f (x + dx) = f (x) + dx f ‘(x) + frac 1 2 dx ^ 2 f’ ‘(x) + … $$
Consiste en un número infinito de términos que expresan la función con argumento desplazado en términos de la función y sus derivadas en el punto $ x $. Cada término contiene $ dx $ a un poder diferente, conocido como el orden del término.
Al orden cero en $ dx $ (sin potencia de dx) las funciones son las mismas (primer término en RHS). En primer pedido $ dx ^ 1 $ se diferencian por $ dx f ‘(x) $ (segundo trimestre en RHS). En orden cuadrático, o en el orden dos, se diferencian por $ frac 1 2 dx ^ 2 f ” (x) $ etc.
Para $ dx $ infinitesimal, supongamos que podemos decir libremente $ dx ll 1 $, tendremos el plazo de pedido $ dx $ dominando (es decir, más grande que) los términos de orden superior, ya que vienen con una cantidad infinitesimal elevada a una potencia superior.
Digamos que quiere una transformación que rote vectores y finge que nunca ha oído hablar de las funciones trigonométricas.
Sophus Lie tenía un truco:
Pero primero hay un truco sorprendente que funciona la mayor parte del tiempo llamado expansión de Taylor:
Deje una función valorada real $ f $ durante un intervalo abierto (digamos por ahora que contiene $ 0 $) donde es diferenciable infinitamente muchas veces. La expresion:
$$ g_5 (x) equiv frac f (0) (x-0) ^ 0 0! + frac f ‘(0) (x-0) ^ 1 1! + frac f ^ (2) (0) (x-0) ^ 2 2! + frac f ^ (3) (0) (x-0) ^ 3 3! + frac f ^ (4) (0) (x-0) ^ 4 4! + frac f ^ (5) (0) (x-0) ^ 5 5 ! $$
es una secuencia que satisface para cada número en el intervalo:
$$ f (x) = lim_ n to infty g_n (x) $$
Muy genial.
Ahora viene Euler. Hay un numero especial $ e = 2.71828 … $ y es genial en una cantidad ilimitada de formas. específicamente aunque tiene una propiedad:
$$ (e ^ x) ‘= e ^ x $$
Entonces, usando el truco tyalor (y $ e ^ 0 = 1 $):
$$ e ^ x = 1 + x + frac x ^ 2 2! + frac x ^ 3 3! + …. $$
¿Por qué parar aquí? Se puede generalizar con algunas reglas adicionales para $ x a X $ dónde $ X $ es una matriz!
Haga una rotación en un ángulo arbitrario y expréselo al primer orden (J es [[0,-1],[1,0]]y se parece algebraicamente $ i $):
$ I + theta J $
En realidad, esta es una rotación ordinaria pero muy cercana a la transformación de identidad, pero solo si el ángulo es pequeño. Es una característica algebraica para todos los ángulos y por eso es parte de un álgebra de Lie. Ahora el truco de Lie es usar el mapa exponencial usando $ e $ como base. Este es un mapa del grupo de Lie, donde es exacto y no solo el álgebra.
$ e ^ theta J = I + theta J- frac theta ^ 2 I 2! – frac theta ^ 3 J 3! + frac theta ^ 4 I 4! + Frac theta ^ 5 J 5! + …. $
Si arregla los términos con $ I $ separado de los términos con $ J $ ¡obtienes exactamente una rotación trigonométrica completa!
Así que la moraleja de la historia es que en muchos casos interesantes basta con el primer orden de un operador y aplicar un mapa exponencial.
Tenga en cuenta que no tiene por qué ser pequeño. Se maneja algebraicamente como una operación “pequeña”.
Sobre el significado de la fructífera pista en el libro:
Probablemente sea intencional que se trate de un $ dx $. Bastante elegante. Pero no puede ser serio en el contexto de la lógica moderna, con las demás cosas que se deciden en su elaboración. ¡Así que no te molestes en absoluto con eso, es la mejor estrategia!
Si insistes, evita interpretar $ dx $ como infinitesimal, de lo contrario, no sería factible realmente.
En primer lugar $ dx $ es un diferencial. Pensar literalmente y mantenerlo simple es algo que toma diferencias y da valores. Si lo tiendes hacia 0, será, bueno, 0. Deja todo bastante vacío. Así que ignora la primera parte, es simplemente molesto.
Se me permite decir que como operador de identidad es de orden 0, también lógicamente. Entonces, como operador, simplemente establece el hecho de que dx.
Entonces, la porción de diferencia le dice que j debe ser de primer orden en dx.
¿Ahora por qué?
Primero porque formalmente $$ j[f(x)]= f (x + dx) $$ tiene un $ dx $ en él y si lo interpretas normalmente entonces depende del valor de dx, con el cual puedes inferir lo que tienes que obtener del $ f $y calcular qué es lo que $ j $ está haciendo. Y luego sigue con tu vida :).
A veces, ser de primer orden significa que los poderes superiores son solo $ 0 $. En mi opinión, no es una forma muy satisfactoria de comprensión. Porque eso es solo una instancia de lo que no es. Hay muchos más.
Sin embargo, el valor nominal, lo que significa es que la diferencia es $ f’dx $.
$$ f’dx = (f (x) dx ^ 0 + f ‘(x) dx) – f (x) $$
Entonces:
$$ j[f(x)]= f + f’dx = f (x) + df (x) = (fdx) ‘$$