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Solución:
En la aritmética de los números reales y muchos otros sistemas numéricos, la multiplicación satisface la propiedad conmutativa, $ab=ba$ para todos los elementos $a$ y $b$. En estos sistemas numéricos siempre puedes intercambiar el orden de los factores en cualquier multiplicación.
En teoría de anillos, álgebra lineal, teoría de operadores, mecánica cuántica y campos relacionados, por lo general todavía tenemos sistemas con una noción de multiplicación, pero en general no es necesario que satisfagan la propiedad conmutativa. Decimos que dos elementos $A$ y $B$ viajar diariamente si $AB=BA$. Podemos pensar en “mover $B$ más allá de $A$” si alguna vez vemos que se multiplica en un lado. En estos sistemas numéricos, solo puede cambiar el orden de los factores en una multiplicación si sabe explícitamente que los factores en cuestión se conmutan; de lo contrario, siempre debe tener cuidado de preservar el orden de los factores en cada multiplicación.
entonces $[A,B]$ es la notación abreviada de $AB-BA$, denominada conmutador. Entonces dos elementos conmutan si y solo si $[A,B]=0$, y el conmutador puede considerarse como una medida del fracaso de los elementos para conmutar. Un teorema establece que las matrices u operadores normales conmutables pueden diagonalizarse simultáneamente. Todas las matrices diagonales conmutan entre sí, y las matrices escalares (que tienen el mismo elemento en cada entrada diagonal, cero en el resto) conmutan con cada matriz.
En un anillo o álgebra no conmutativa ya no tienes la identidad $(AB)^2 = A^2B^2$ o $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$ (este último es en cambio $A^2 + AB + BA + B^2$). Esta es la razón por la que la identidad $e^tAe^tB=e^t(A+B)$ falla en general para los $A,B$ que no viajan al trabajo. En la expresión $e^tAe^tB$ todos los operadores $A$ aparecen a la izquierda de todos los operadores $B$, mientras que cuando observa la expansión de Taylor para $e^t(A+ B)$ tiene términos con $A$ a la derecha de $B$.
Pero si $A$ y $B$ conmutan, entonces la prueba de esta identidad que se encuentra en el análisis real mediante la manipulación de la serie de Taylor funciona sin cambios. Simplemente expanda el producto de las dos series de Taylor, término por término, y conmute todos los factores $A$ a la izquierda de todos los factores $B$ en cada término. Luego usa el teorema del binomio. Y para probar la afirmación inversa ($e^tAe^tB=e^t(A+B)$ implica que $A$ y $B$ se conmutan), puede que le resulte útil comparar las potencias de $ t$ a término.
Tenga en cuenta que en la teoría de grupos donde la resta no está disponible, hay otro conmutador $[a,b]=aba^-1b^-1$. Ambas son medidas de falta de desplazamiento, pero no son lo mismo, así que tenga en cuenta el contexto.
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