Solución:
Un espacio de Hilbert $ cal H $ es completo lo que significa que cada Secuencia de Cauchy de vectores admite un límite en el propio espacio.
Bajo esta hipótesis existen bases de Hilbert también conocidas como sistemas ortonormales completos de vectores en $ cal H $. Un conjunto de vectores $ { psi_i } _ {i in I} subset cal H $ se llama sistema ortonormal si $ langle psi_i | psi_j rangle = delta_ {ij} $. También se dice que es completo si se cumple un cierto conjunto de condiciones equivalentes. Uno de ellos es $$ langle psi | phi rangle = sum_ {i in I} langle psi | psi_i rangle langle psi_i | phi rangle quad forall psi, phi in cal H tag {1} :. $$ (Esta suma es absolutamente convergente y debe interpretarse si $ I $ no es contable, pero no ingrese estos detalles aquí.) Dado que $ psi, phi $ son arbitrarios, (1) a menudo se escribe $$ I = sum_ {i in I} | psi_i rangle langle psi_i | tag {2} :. $$
Esta relación de completitud de la base significa que puede alcanzar todas las direcciones posibles en el espacio de Hilbert. Esto significa que alguna $ | psi rangle $ se puede componer a partir de estos vectores base.
Si la suma de los proyectores (los ket-bras) no fuera la matriz unitaria, el vector $ | psi rangle $ podría tener componentes que no se pueden representar dentro de su base.
Tomemos un ejemplo tridimensional. Tomando los tres vectores de base canónica como su $ | phi_n rangle $, como $ | phi_1 rangle = (1, 0, 0) ^ mathrm T $ y así sucesivamente, puede ver la relación de completitud. Si falta uno de ellos, su base no abarcará todo el espacio $ mathbb R ^ 3 $.